Диссертация: Теоретическая механика лекции

--PAGE_BREAK--Вторая форма  условияравновесия для пороизвольной плоской системысил:
åМА(Fk)=0  åМВ(Fk)=0  åМС(Fk)=0 – причем т.А, т, В, т.С Ïодной прямой.

— Докажем необходимость этих условий:

Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что åмоментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия.

— Докажем достаточность этих условий:

Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*¹0 эквив.данной сист.сил.

Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С Ïпрямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии.

Третья форма усл-я равновесиядля произвольной плоской системы сил.

åFkz=0   åМА(Fk)=0  åМВ(Fk)=0   – причем ось ох не перпендикулярна АВ.

— Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

— Докажем достаточность этих условий:

Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* ¹0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cosa=0, поскольку х не перпендикулярна АВ, то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии.

На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил:

åМА(Fk)=0  åМВ(Fk)=0, АВ не параллельна F1, F2, F3,…,Fn

Теорема Вариньона:

Момент равнодействующей отн-но кокой-либо точки равен сумме моментов, составляющих данную равнод.сил относит-но того же центра.

{F1,F2,…, Fn}~R*, {F1,F2,…, Fn, -R*}~0, åМо(Fk)= Мо(R*)

Произволь.плоская система сил. Частный случай приведения произволь.плоской сист.сил.

Плоск.сист.сил хар-ся тем, что гл.вектор и гл.момент перпендикулярны др.другу: Lo^R.

Частные случаи:

1.Гл.момент Lo=0; R¹0 – в этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем R*=R.  Если центр приведения лежит на линии действия силы R, то ситуация не изменится и сист.сил опять будет приводится к равнодействующей.

2.Пусть Lo¹0; R¹0. Покажем, что в этом случае сист.сил можно привести к равнодействующей.

R=R1=R1’; [Lo] ~{R1;R1’};   {R1;R1’}~0; причем повернем эту пару сил так, чтобы R и R1 лежали на одной прямой, тогда видим, что сист.сил {R1;R1’}~

{R;Lo}~{R=R1=R1’}~{R1’}.  D=Lo/R.

3.Пусть R=0, Lo¹0.  В этом случае система сил приводится к паре. Причем вне зависимости от вцыбора центра приведения система сил будет приводится к одной и той же паре сил с моментом Lo. Т.к.главный вектор не зависит от выбора центра приведения.

Статически определимые и стат.неопределимые задачи.

Задачи наз-ся стат.определимыми и соответств.этой задаче мех.система наз-ся стат.определимой, если число неизвесных реакций связи не превышает числа ур-й статики, которые можно составить для решения этой задачи.

Задачи наз-ся стат.неопределимыми, если число неизвестных реакций связей превышает число ур-й статики. В теор.механике рассм-ся и решаются только статически определимые задачи.

Ужно заменить неподвижный шарнир на подвижный.

Составные конструкции.

1.ХА-F1cosa+XC=0

2.-XC’+F2+XB=0

ХА — F1cosa+ F2+XB=0

Rc=RC’; MC=MC’

В РГР: после составления 6 ур-й равновесия проверить правильность найденных реакций связи при помощи ур-я, которое не участвовало в решении.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Распределенная нагрузка
Q=[н/м], l=[м]. Q=òqdx=qòdx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=òq(x)dx=(q/l)òxdx=(q/l)(x2/2)½= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=òq(x) xdx=(q/l) òx2dx=(q/l)(x3/3)½= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3Þb=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади распределенной на оси и приложена она в центре тяжести.(Все это касается распределенной нагрузки параллельн.между собой силам).

Сила трения скольжения. Законы Кулона для
Fтр.ск.:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£Fтр£Fмах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения.

N=P.

Мтр.кач.=dN, d-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят в правые части ур-я. Правило со знаком  -.

Конус трения.

Угол a образуется между силой R и N, причем сила R-это равнодействующая силы N и максимальной силы трения.

tga= Fтр/N=f-коэф.трения

Конус, построенный на силе R с углом a наз-ся конусом трения.

Если сила RА оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и лежит на его образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила RА нах-ся вне конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в равновесии:

dР= Мтр.кач.=rQ,

fP= Fтр=Q

Если Q<(d/r)P (1), (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1)Q<(d/r)P,d/r£f тело нах-ся в равновесии

2) Q>(d/r)P, Q>fP в этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q>(d/r)P, Q<fP в этом случае происходит качение со скольжением

4) Q<(d/r)P, Q>fP чистое скольжение

Поскольку в основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее, чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие приспособления.

Аналогично моменту трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения.
Произвольная простр.система силЧастный случай приведения произвольной простр.системы сил. Инвариантная система сил.
Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что произойдет с сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр О1.

Lo-векто свободный

{R’’, R’}~

R=R’=R’’

MO1=[O1O ´R]

LO1=LO+[O1O ´R]= LO-[O1O ´R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая вел-на, кот-я не меняется при изменении центра приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(LO1´R)=(( LO+[O1O ´R] )R)

(LO1´R)=( LO´R)+( [O1O ´R] R)

(LO1´R)=( LO´R)

LO1´cosa1= LO´cosa-эта запись второго инварианта в др.форме:  Проекция главного момента на направление главного вектора величина неизменная.

L1xRx+ L1yRy+ L1zRz= LxRx+ LyRy+ LzRz

Частный случай приведения произвольной плоской системы сил.

1)Приведение системы сил к паре сил

В этом случае LO¹0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не меняется.

2)Система сил приводится к равнодействующей

а)R*=R; LO=0

Относительно любой точки, лежащей на линии действия равнодействующей система сил всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к равнодействующей.

Б)LO¹0 R¹0, LO^R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, LO }~{ R=R’=R*}~{R*}

LO=Rd

{R, R’}~

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d от линии дей-я силы R, определяемое по ф-ле: d=Lo/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

LO¹0 R¹0, причем LO не^R.

LO1=LOcosa;

LO2=LOsina; d=LO2/R

Уравнение динамической оси.

LО1x/Rx= LО1y/Ry= LО1z/Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

LО1= LО +[O1O ´R]

LО1= LО +[OO1´R’]

[LОx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[LОy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz –уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[LОx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[LОy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i       j     k

x     y     z

Rx Ry Rz

[LОx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[LОy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[LОz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz
    продолжение
--PAGE_BREAK--Равнодействующая 2-х параллельных сил, направл-х в одну сторону
R*=F1+F2

F1/F2 =а/в, F1´а= F2´в

МR*(F1)=- МR*(F2); LO-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор = сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра. Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону (лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F2>F1, R*= F2 — F1, F1/F2 = а/в,F1/а= F2/в=( F2 — F) /в-а, F1´в= F2´а, Мс (F2)= Мс(F1);

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части, обратно пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=låFi,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же центра

Мо (R*)= åМо Fк,

[rc´R*]= å[rк´Fк]

[rc´(åFi)l] — å[rк´Fкl]=0

[(åFirc — åFkrk) ´l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку вектор l выбирают произвольно, то rcåFк— åFkrk=0 Þrc=(åFkrk)/ åFк формула нахождения центра тяжести.
Нахождение центров тяжести
rc=(åРkrk)/ åРк –ф-ла нах-я ц.т.

Р1=m1g; Pk=mkg; Pn=mng.

rc=(åmkrk)/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=åmk

xc=(åmkxk)/ M; yc=(åmkyk)/ M; zc=(åmkzk)/ M

Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

xc=(òхdV)/V; yc=(òуdV)/V; zc=(òzdV)/V; V=òdV

Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е ф-лы:

xc=(òхds)/S; yc=(òуds)/S; zc=(òzds)/S; S=òds

Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):

xc=(òхdl)/L; yc=(òуdl)/L; zc=(òzdl)/L; L=òdl
Свойства центров масс
Если тело имеет ось симметрии, плоскость симметрии, то центр масс обязательно располагается на них.

Метод отрицательных масс.

S1-вся площадь

S2 — площадь выреза

С –центр масс тела без выреза площади S2

xc=[(S1-S2)xc*+ S2xc2]/S1

xc*= (xc S1 — xc2 S2)/( S1 — S2)

c*-центр масс тела с вырезом

Из этой ф-лы следует, что если надо опр-ть центр масс тела, у кот-х есть вырез, то надо считать, что в вырезе сосредоточена отрицательная масса.

Цент тяжести некоторых простейших тел.

Разбиение на ¥

ВД-медиана

ВС*/С*Д=2/1

Центр тяжести в точке пересечения медиан.

Центр тяжести дуги.

Ус=0, хс=òхdl/L

L=2ar

х=rcosj; dl=rdj;

хc=(1/2ar)òr2cosjdj=(r/2a)sinj½= (r/2a)2sina= (r sina)/a;
    продолжение
--PAGE_BREAK--Ц.т.кругового сектора
хс=(2/3)(r sina)/a);
Ц.т.кругового сегмента
хс=[S2xc2 – S1xc1]/(S2 – S1)

S2=ar2

S1=(1/2)r2 sin 2a

2p— pr2, 2a— x,  x=(2a/2p)pr2,

xc={[(ar2)(2/3)r (sin a/a)]-[(1/2) r2 sin 2a][(2/3) rcosa]} /[(ar2)-[(1/2) r2 sin 2a]

=(2/3)r[sin3a/(2a— sin2a]



Кинематика
Это раздел механики, в котором изучается движение материальной точки, твердых тел, механических систем, без учета сил, вызывающих это движение
Кинематика точки
Сущ-ет 3 способа задания дв-я точки: векторный, координатный, естественный.

При векторном способе задания точки откладываются векторы из одной точки.

Задается r, как ф-ция от времени r=r(t)

Кривая, которую вычерчивает конец вектора, отложенный из одной общей точки наз-ся гадографом.

Гадограф радиуса вектора точки – это траектория точки.

V=lim(Dr/Dt)=dr/dt –скорость

Отсюда вывод-скорость направлена по касательной к траектории точки.

W= lim(Dv/Dt)=dv/dt – ускорение

При коорд.способе задания точки берем коорд.сетку: оси x, y, z

x=f1(t)

y= f2(t)

z= f3(t)

Vx=x=d f1/Dt      Wx=x=

Vy=y=d f2/Dt      Wy=y=

Vz=z=d f3/Dt      Wz=z=

V=ÖVx2 + Vy2 + Vz2

W=ÖWx2 + Wy2 + Wz2

cos(V,x)= Vx/V

cos(V,y)= Vy/V

cos(V,z)= Vz/V

Естественный способ задания дв-я точки.

При естеств.способе задания дв-я точки д.б.задано: 1)траектория дв-я точки, 2)начало отсчета на траектории, 3)положительное и отрицательное направление отсчета, 4)дуговая абсцисса д.б.задана как ф-ция от времени S=f(t)

Введем единичный орт касательный t. Вектор t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы, модуль êtê=1

Вектор скорости V опр-ся: V=s t.

Если s>0, то скорость направлена в сторону возрастания дуговой абсциссы по вектору t, а если s<0, то вектор скорости напрвлен в сторону убывания дуговой абсциссы.

V=s- алгебраическое зн-е скорости.

Введем элементы диф.геометрии.

Предельное положение пл-ти t1М1t2’ при стремлении М2 к М1 наз-ся соприкасающейся пл-тью.

В каждой точке кривой введем нормальную пл-ть, как пл-ть ^ вектору t.

Пересечение нормальной пл-ти с соприкасающейся пл-тью дает направление главной нормали. Поэтому введем едиинчный орт направления главной нормали n направлена по напр-ю гл.нормали., т.е.по отношению к кривой мы имеем:

Введем 3-й вектор –вектор бинормали в, так что вектора t, n и в составляли правую тройку векторов. Эти три вектора определяют оси естественного трехгранника. С каждой точкой кривой связаны 3 взаимно ^оси t, n, в

V=dr/dt=(dr/ds)/(ds/dt)=st

ïdr/dsï=ïdrï/ïdsï=1

t направлен в сторону возрастания дуговой абсциссы
Определение ускорения при естественном способе задания дв-я точки
Ускорение W=dv/dt=d(st)/dt=st+s(ds/dt)

Кривизна кривой в данной точке

К=lim(Dj/Ds)=dj/ds

r=1/k=ds/dj-радиус кривизны в пределах при Ds®0, вектор dt направлен по направлению нормали.

(tt) =1. Произв.по времени: 2[t (dt/dt)]=0 Þ^dt/dt

Векторdt/dt направлен по нап-ю нормали

çdt/dtç=çdtç/çdtç= dj/ dt= (dj/ ds)( ds/ dt)= s(1/r)

вектор dt/dt= s/r

s(dt/dt)= s2/r=v2/r

W= st+ (s2/r), где st=Wt -касат.составляющая ускорения

s2/r= Wn –норм.сост.ускорения

W=Wt+ Wn

W=ÖWt2+ Wn2

Wt-хар-ет изменение скорости по вел-не,

Wn-хар-ет изменение скорости по направлению

Wtнаправлена по вектору t если s>0 и противоположно вектору t если s<0

Численное зн-е нормального ускорения Wn всегда >0, и оно всегда направлено внутрь области кривой в каждой ее точке.

Если точка движется по прямой, то норм.ускорение точки =0.

Пусть точка движется по окружности с пост.по величине скоростью, чему равно ускорение точки?

V=const

Wt=dv/dt=0

Wn =v2/R

Любую кривую можно представлять в виде совокупности дуг различного радиуса.

Связь между естеств.и коорд.способами задания дв-я.

Ds=Öx2+y2+z2 dt

S=òÖx2+y2+z2 dt

Wt=dv/dt=d(Öx2+y2+z2)/dt=[VxWx+VyWy+VzWz]/V/

x=f1(t)

y= f2(t)

z= f3(t)

t=j1(x) –цилиндр.пов-ть образ.параллель.оси у

y=f2(j1(x)) - цилиндр.пов-ть образ.кот параллель.оси z.

z=f3(j1(x))
    продолжение
--PAGE_BREAK--