Контрольная работа: Кинематика, динамика статика. Задачи
вправа 14.
1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ?
Дано:
m =2 кг
k =100 Н/м
∆l = 1см=0,01 м
Знайти :a
Рішення: На тіло діють наступні сили
— сила натяжіння пружини F1
— сила тяжіння F2
— сила тертя (=0, тому що поверхня гладенька за умови задачі, тобто коефіцієнт тертя дорівнює 0)
За законом Гука сила натяжіння пружини F1 = ∆l ∙ k .
За другим законом Ньютона в проекції на горизонтальну вісь F1 = m∙ а
m∙ а = ∆l ∙ k → а = ∆l ∙ k/m = 0,01∙м∙100∙Н∙м-1 /2∙кг = 0,5∙Н/кг=0,5м/с2
Відповідь: тіло рухається з прискоренням 0,5м/с2 .
2)Автомобіль масою 1000кг підчас гальмування зупиняється за 5 с під дією постійної сили, проходячи при цьому відстань 25 м. З яким прискоренням рухається автомобіль? Яка початкова швидкість автомобіля? Чому дорівнює сила тертя ?
Дано
m=1000∙кг
t=5∙с
s=25∙м
v1 =0∙ м/с
a=?
v0=?
F=?
Рішення
При рівноприскореному русі маємо систему рівнянь:
v1 = v0+a∙t
s=v0∙t+a∙t2 /2
0= v0+a∙5 ↔ v0=-a∙5 v0=-(-2)∙5 = 10∙м/с
25= v0∙5+a∙52 /2 ↔ 25= -a∙5∙5+a∙52 /2 ↔ 1=-a+а/2 ↔ а=-2∙м/с2
За другим законом Ньютона сила F = m∙ а = 1000∙кг∙-2∙м/с2 =-2000∙Н
Відповідь : автомобіль рухається з прискоренням -2∙м/с2, початкова швидкість автомобіля 10∙м/с, сила тертя дорівнює -2000∙Н.
5)Під дією сталої сили 40 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність координати від часу описується рівнянням x= 5 + 2t — t*t( t в квадраті)(м).
З яким прискоренням рухається тіло? Яка маса рухомого тіла? Яку швидкість має тіло через 3 с після початку руху ?
Дано
F=-40 Н
x=5+2t-t2
t1 =3c
a=?
m=?
v1 =?
Рішення
За другим законом Ньютона прискорення а = F / m, а сила тіла стала за умови задачі (маса також) тому ріло рухається рівноприскорено. Рівняння рівноприскореного руху мають наступний загальний вигляд:
v1 = v0+a∙t
s1 = s0+ v0∙t+a∙t2 /2
Тому s1 = x тотожно для всіх t:
s0+ v0∙t+a∙t2 /2 ≡ 5+2t-t2 → s0=5м, v0=2м/с, a/2=-1 → a=-2 м/с2
За другим законом Ньютона m = F / а = -40/(-2)=20кг
v1 = v0+a∙t1 = 2-2∙3 = 2-6 = -4 м/с.
Відповідь : тіло рухається з прискоренням -2 м/с2, маса рухомого тіла 20кг, через 3с після початку руху тіло має швидкість -4 м/с.
6)Яку швидкість повинен мати автомобіль, щоб проїхати по опуклому мосту за радіусом кривини 40 м, спричинивши мінімальнудію на нього ?
Дано R=40 м.
Рішення
Прискорення тіла, яке рівномірно рухається по колу дорівнює:
а=v2 /R
У верхній частині моста сила тяжіння повинна дорівнювати центробіжній силі:
mg=ma=m∙v2 /R ↔ gR=v2 ↔
Відповідь: автомобіль повинен мати швидкість приблизно рівну 20м/с = 72км/ч.
7)Тіло починає зісковзувати з вершини сферичної поверхні, радіус якої становить 5 м, зі швидкістю 5 м/с. З яким кутом відхилення від вершини воно відірвться від поверхні ?
Рішення: Умова відриву: центробіжна сила F2 = F1 проекції сили тяжіння F на радіус-вектор (див. малюнок):
F2 = ma = m∙(v12 /R)
F1 = mg cos α
F2 = F1
mg cos α = m∙(v12 /R) ↔ v12 =Rg cos α
Додаткова умова: збереження повної енергії системою: зростання кінетичної енергії тіла дорівнює зменшенню його потенційної енергії:
Е1 -Е0=∆H∙m∙g ↔ mv12 /2-mv02 /2 = (R-R cos α )mg ↔ v12 -v02 =2g(R-R cos α )
Підставляємо в останнє рівняння вираз для v12 отриманий вище і знаходимо cos α :
Rg(cos α ) -v02 = 2g(R-R cos α ) ↔ cos α = (v02 + 2gR)/(3gR) = 2/3 + v02 /(3gR) ≈ 2/3 + 52 /(3∙10∙5) = 2/3+1/6= =5/6
Отже cos α ≈ 5/6. За таблицею значень косинусів знаходимо кут, який відповідає цьому значення косинуса α ≈ acos(5/6)=34°
Відповідь : тіло відірветься від поверхні з кутом відхилення від вершини приблизно 34°.
вправа 15.
1)До кінців стержня завдовжки 80 см і масою 10 кг підвісили тягарі, маси яких дорівнюють 1кг і 10 кг. У якій точці потрібно підвісити стержень, щоб вінперебував у рівновазі в горизонтальному положенні ?
Нехай точка підвісу знаходиться на відстані х від ваги у 1кг. Тоді довжина плеча ваги у 10кг дорівнюватиме (0,8-х). А плече сили тяжіння на центр мас стержня дорівнюватиме (0,4-х).
Сума моментів повинна дорівнювати нулю:
х∙1= (0,4-х)∙10+(0,8-х)∙10
х= 4-10х+8-10х=12-20х
21х=12
х=12/21=4/7≈0,57м=57см
Відповідь : стержень потрібно підвісити на відстані 57см від кінця з тягарем масою 1кг.
2) Балка вагою 1400 Н підвішена на двох канатах. Яка сила натягу цих канатів, якщо відстань від центра мас балки до точок підвісу 3м і 1м відповідно ?
Вот эта же задача, но в нормальной формулировке:
Однородная балка массой m = 140 кг и длиной l подвешена на двух вертикальных канатах. Первый канат прикреплен на расстоянии l1 = 1,0 м от центра балки, а второй – на расстоянии l2 = 3,0 м. Модуль силы F натяжения первого каната равен:
Перша умова рівноваги: сума всих сил дорівнює нулю: Т1 +Т2 +(-1400)=0
Друга умова рівноваги: сума моментів дорівнює нулю: Т1 l1 +(- Т2 l2 )=0 ↔ Т1 1=3 Т2
Підставляємо вираз для Т1 у перше рівняння:
3 Т2 +Т2 =1400
4 Т2 =1400
Т2 =350 Н
Т1 =3 Т2 =3 350=1050 Н
Відповідь : сила натягу канату на відстані 3м від центра балки (Т2) дорівнює 350Н, сила натягу другого канату дорівнює 1050Н.