Контрольная работа: Аддитивные проблемы теории чисел
.
Ł
1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3
1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª................................ 4
1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı............................... 5
1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ. ( ¨.. ´Ł ª -
).................................... 6
1.3 ˇ ƺ Ł — ¸Ł º........................... 6
1.3.1 ´Ł ª — ` Æ Ł.................... 7
1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø........................ 8
1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł........................ 8
1.5.1 ˆŁ —Ł............................. 9
2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10
2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł................. 10
2.2 ß ł. ¨ææº Ł æ Œ ß æ............. 11
2.2.1 º Æ ª............................. 12
2.2.2 — ł æ............................ 12
2.3 ˜Łæ æŁ ßØ.............................. 13
3 ˛æ ß ß ß. 15
Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII — XX .
´ Ł .
Ł Ł Ł Łæ º — º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł
º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł, Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı, æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-
æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.
1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.
˚ Œº ææŁ æŒŁ | ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ : |
1. ˇ ƺ | ´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł |
æ ß s = s (k ) | Ł º ßı k − ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k > l ; |
2. ˇ ƺ | ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5, |
æ Ø ı | æ ßı Ł ƺ غ — ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º, |
Æ º łŁı 2, æ | Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742); |
˛æº ƺ | ƺ ˆ º Æ ı. ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ - |
Ø ª Ł | ª Łæº æ ßı; |
3. ˇ ƺ | Ł — ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº, Æ º ł ª 1, |
Ł æ ß | æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .); |
4. Ł Ł | ƺ ºŁ º Ø; |
5. ˇ ƺ | ºŁ º Ø Ł ł ; |
6. ˙ Ł | æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı |
Łæ º æ ª Ł | ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø; |
7. ˙ Ł | æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß - |
ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł. ˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ, ºª Æ- Ł æŒŁ, º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß - |
æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł, Ł Ł ß Ł ı
æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º — ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.
1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .
ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ. ´ | Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº - | |
ø Ł: æ Œ º Łæº æ æ | ß ı Œ, Ł Œ Æ , | |
Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº | Ł: | º º Æ ª n > 2 æ ø æ - |
Œ k = k (n ), Łæ ø º Œ n, º Æ | º Łæº æ æ A: n − | |
æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ | Æø | ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ |
ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k ŁæŁ æ Ł | n | 1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D. |
Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª | ß | æ ƺ Ø ˆŁº Æ — ´ - |
Ł ª. ¯æºŁ Jk,n (N ) Æ Ł Łæº ł Ł | ŁØ | ºßı Ł º ßı Łæº ı |
ˆŁº Æ Ł º Æ N > 1. | , æ ø æ K = k (n ), º Œ ª Jk,n (N ) > 1 | |
´ 1928 ª. ˆ. X. | Ł Ł ˜ | . ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J. ¯. Littlewood), Ł Ł |
Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø, Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2n −1 + 5 º Jk,n (N )
Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł
Jk,n (N ) = AN k/n −1 + O (N k/n −1−γ )
ª A = A (N ) > c 0 > 0, c 0 Ł γ > 0 — Œ ß æ ß. º º, Ł
N > N 0(n ) Łæı Ł Ł ł Ł. ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ
Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G (n ),g (n ),k 0− Ł łŁı ºßı
Łæ º, º Œ ßı:
) Łæı Ł łŁ Ł k > G (n ) Ł N > N 0(n );
Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g (n ) Ł N > 1;
) º ºŁ Ł ß Jk,n (N ) Ł k > k 0(n ) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .
) ¨ æ, G (n ) > n + 1
´ 1934 ª. ¨.. ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G (n ) 6
3n (lnn + 9)
˚ ª, Ł æ ª º æŁ º G (n ) º Æ º łŁı ŁØ n: G (4) = 16 (X. ˜, ˝. Davenport, 1939), G (3) = 7 (. ´. ¸Ł Œ, 1942).
Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ. ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -
, Œ ºŁ,
º æ ı n > 6, º Œ ßı
ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ
Æ º łŁı n .
) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨.. ´Ł ª, Œ ßØ Œ º,
k 0 6 4n 2 lnn.
º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª. ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª
Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º
æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º ß f 1 (x 1 ),f 2 (x 2 ),...,fk (xk ); æ
Łæı ª Ł ææ Ł æ æ Ł Ł. .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł, Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.
1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .
˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª, æ Œ º Łæº, Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)
Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ, Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł
ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .
´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜. ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ, æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº, æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.
´ 1937 ª. ¨.. ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -
Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº, Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. — Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ. ¨.. ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı. ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł . 1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ. ( ¨.. ´Ł ª ) ˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨.. ´Ł ª ß. ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł | |
cosF (x 1,...,xn ) + i sinF (x 1,...xn ), | |
ª F (x 1,...,xn ) Øæ | Ł º º Łæº Œ Ł. ŒŁ Æ , |
æ Ł Łı ƺ | æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, - |
º Ł | Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ. ¨.. ´Ł ª , |
Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł | Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ, º Łº ŁæŒº - |
Ł º æŁº ß ŒŁ | º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ. ºŁº |
´Ł ª º Ł | º ß, ƺŁ ŒŁ Œ º ß º - |
ß º æ | ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ |
´ Ł ª, ƺ ˆŁº Æ | ˚ Œ, ƺ Œ æ ´ غ. ˜ ªŁ æº æ Ł- |
Œ Łª | Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ |
æ æ ß Ł Łæº Ł Ł, | æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı . |
1.3 ˇ ƺ | Ł — ¸Ł º . |
˙ ı Ł æŁ | Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q (n ) ł ŁØ Ł |
p + x 2 + y 2 = n,
ª p — æ, x Ł — ºß, n — º Łæº. º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł
p − x 2 − y 2 = l,
ª l — ŁŒæŁ | º | Łæº, p 6 n (n → ∞). X. -¸. | . Æߺ | æ º ˆ. | - |
Ł (G. Hardy) Ł ˜ | . ¸Ł º | (J. Littlewood) 1923 Ł | ææ | Ł Ł æ | |
Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ | Ł | æŒŁı æ Æ ŁØ. | |||
˜Łæ æŁ ßØ | , | Æ ßØ. ´. ¸Ł ŁŒ , | ºŁº | Ø Ł æŁ | - |
ŁŒ º ª | Ł : |
,
ª
¨ | º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ | æ æ | |
æ ßı | Łæ º Ł = x 2 + y 2 + l. ø Łæ æŁ ª | Ø æŁ | - |
ŁŒ | º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł — ¸Ł º | p + ϕ (x,y ) ª | p |
— æ . | , ϕ (x,y ) — Ł Ł Ł º Ł º º | Œ Ł | |
— ææ | Ł º ªŁ ª Ł p − ϕ (x,y ) = l Ł Ł | Œ Œ º æ | |
Æ æŒ | æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p = ϕ (x,y ) + l | ||
´Ł ª — ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı |
.
ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł — ¸Ł º, Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .
1.3.1 ´Ł ª — ` Æ Ł.
ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :
,
ª
ψ (y,k,l ) = X = Xλ (n ).
n 6yn ≡lmodk
, æ ø æ æ ß c 1 > 0 Ł c 2 > 0 ŒŁ ,
,
√4 logx
ª k 0 < e = z 1 − º, º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ
Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χk 0 Œ Ø, L (s,χk 0) Ł º Ł s =
√ 11/ 18 −A ∆(Q,x ) 6 c (A )( xQ logx + x logx ) | |||||
Ł º Æ A . 1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø. | |||||
Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł : , | º Ø — ƺ, Œº ø æ X τ k 1τ k 2(m + a ) m 6n X τk 1τk 2 (n − m ), m<n | ŁæŒ | æŁ Ł | æŒ - | |
ª τk (m )− Œ ºŁ æ | ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº | k | Ł | º Ø, æ Ł | Ł |
Œ k 1, Ł k 2 > 2− - | º ß Łæº, a — ŁŒæŁ | º | Łæº , | ºŁ - | |
º, n — æ | Æ º ł º Łæº. ´ | æ | æ Ł, τ 2 (m ) = τ (m ) - | ||
Łæº ºŁ º Ø º Łæº ŁØ | m. ß ß, æ æ x 1x 2...xk 2 − y 1y 2...yk 1 = a, x 1x 2...xk 1 − y 1y 2...yk 2 = n. | , Œ ºŁ æ | ł ŁØ | ||
Ł Ł ƺ | ºŁ º Ø Ł k 1 = 2 Ł º Æ | º | k 2 Æߺ | ł æ | |
ø Łæ æŁ ª | . ´. ¸Ł ŁŒ . | Æ | ææ | º . | |
1.5 ˇ ƺ ºŁ | º Ø Ł ł . | ||||
ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł | ł: ?= — æ,? = xy, x, y | º ß ; | |||
ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł : p − xy = a,p < N, p + xy = N,p < N,x,y ∈ N ª p − æ Łæº a − ŁŒæŁ º . Æø — ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł : | ł ŁØ | º… - |
. ˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,
X
τ (p − 1), p<N
ª τ (p )− Łæº ºŁ º Ø n .
ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º. Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ). ˜Łæ æŁ ßØ, Æ ßØ. ´. ¸Ł ŁŒ, º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :
p −xy = a,p < N, Ł a = 1, `.. ` ŁıŁ | łŁº | º º Æ ª ŁŒæŁ - | ||
ª a 6= 0. ` ª ε > 0. | ŁıŁ Œ º æŁ | Ł | æŒ | º æ æ Œ O (N/ (ln1+ε N )), |
´Ł | ª — ` Æ Ł | æ | º ŁŁ | æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı |
ª ææŁ ı | æ Œ Ł Ł | Œ | ł Ł | ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł . |
ˇ Ł | º Ł æ ºŁ | æ Ł | æłŁ | Ø ªŁ ß —Ł æ |
Œ Ł æŒŁ ). | Ł Ł Æ º ł ª | ł | ( Ł | ß Æ ææ ß Ł |
1.5.1 ˆŁ | —Ł . | |||
˜º º | æ Ł º Ł | — Œ ŁŁ. ˜ — Œ Ł ζ (s )− - | ||
ºŁ Ł æŒ | Œ Ł Œ º Œæ ª | ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ | ||
Ææ º Ł | æı øŁ æ | ˜Ł Łıº : |
˙ Ł | — Œ ŁŁ | , | º | Łæº | ºŁ ßı ª ª | ||
æ Łæº . | : Œº | æ | æ ß | Łæº , | ª Œº | Ł ª æ ª | |
—Ł | 1859 ª. ßæŒ | º | º | Ł | æ | Ł æ ßı | Łæ º æ Re = 1/ 2 - |
Œ ŁŁ, | Œ º | Łº, | æ | Øæ | Ł | º ß ºŁ | — Œ ŁŁ æ º - |
ß | Ø Re = 1/ 2. | ||||||
¨ Œ, | Œ Ł ζ (s ) | º | º æ ı Œ | º Œæ ßı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł- |
º ßı ºßı s = −2, −4, −6… ¨ Œ Ł º ª Ł
s )ζ (1 − s ), Ł ª ß Ł Ł s > 1 æº, æ æ º ß
ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s 6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ"R. ˆŁ —Ł, :
´æ Ł Ł º ß ºŁ — Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,.
˛Æ Æø… | ªŁ —Ł | æ æ | Ł Ł ª æ ª | Ł | º Æ Æø - |
ŁØ - | Œ ŁØ, ß | ßı L- | Œ Ł Ł ˜Ł Łıº . | ||
2 æ º. | ß ł | Ł | ƺ Ł Ł | Ø | ŁŁ Ł- |
ˇ ß æŁæ | Ł æŒŁ | º ß | Ł Ł Ø ŁŁ | Łæ º ÆߺŁ | º ß ¸ - |
غ | (1748), Œ | ßØ Łææº | º æ ø æ | ßı | º Ł |
ºßı Łæ º | º Ł º | ß æº ª | ß, æ æ Ł, Ł Æߺ ææ | ||
º ŁŁ | Łæº | Œ ºŁ | æ æº ª ßı. |
2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .
ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł. æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -
ºŁ Ł æŒŁı, Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜. ¨. ¸Ł º (J. ¯.
Littlewood) Ł ¨.. ´Ł ª ß. ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :
Ai = {ai },ai > 0,a ∈ Z,i = 1, 2, 3,… æ ßı: æ Ł ø Ø Œ Ł Ø
,
ª r (n ) = rk ,A (n ) − Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :
n = a 1 + a 2 + … + ak ,ai ∈ Ai ,A = {A 1A 2,... }.
ˇ Ł r (n ) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:
¨ r (n ) ß º æ ªº | æ, æ æ ø | Ł Ł º, æ æ ßı |
Œ æ æ Ł Œ ßı Ł | º ßı Œ. ´ | æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F (z ), - |
Æ øŁı Ł Ł | Ø ŁŁ Łæ º | Ł º Ł ªŁ, º ªŁ ßı ªŁ- |
—Ł, º | º Ł ß Łæº | ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ |
ŒŁ Łª Ł. æ | ´Ł ª | Ł Œ ß æ º Ł æ ßı |
Łæ º Ł Ł æŒŁı ª | ææŁ ı, º | ß æ ß Ł Ł - |
ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº. æ | ºŁ æ , | ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r (n ) 6= 0 º |
æ ı n > 1, ºŁÆ r (n ) 6= 0 º | æ Æ º łŁı n n > n 0(A ), ºŁÆ Ł º æ ı |
ß º æ æ ł Ł r (n ) 6= 0,. .
,
ŁºŁ, Œ, º r (n ) Ł æ æŁ Ł | æŒ | º. ˝ Ł | ł Łæº k, º - |
ø Ł Łæº ßı æº | ŁØ, Æ | æ æ | æ g (A ), G (A ), |
G 0(A ), k 0(A ). ´ æº {ai } = {p }, ª {p }− | æº | º æ | æ ßı Łæ º, Ł k = |
3 º æ ´Ł ª: æ Œ | æ | Æ º ł | Łæº |
Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 — Œ: Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.
2.2 ß ł. ¨ææº Ł æ Œ ß æ .
˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ, º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai ai ,
ßı ºŁł Łı º æ Ł, ª Ai (n ) = P16ai 6n 1. ¨ º Ł º æ Ł dn (Ai ) Ł A 1 = A 2 = … = Ak = A æº, g (A ) < ∞. ˇ Ł Ł ª
Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ ßı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł ßı æº -
º æ Ø ßı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ. ´ ø º
Ł Łª ß ł, æ ø Œ ßı Œ ß æ º Ł º æ
d (Ai ). ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł -
º ßı Łæ º Ł æ ß ª Ł ª Łæº æ ßı æº ª ßı,. ´. ¸Ł ŁŒ
Ø º ł Ł ƺ ß ´ Ł ª .
º ß ß ł, Ł º øŁ ´. ´ Ł. º Æ ª, Ł
Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º, æ ß Œ æ ß
ºŁ Ł æŒŁ æ æ. ˛ Œ ŁÆ º Œ ß ł Ł Œ ßı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º ßı. ´ ı ł Ł Ł ßæ Ł Ł æ ßı Łæ º Ł º ª
( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, ßæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł
{2n — m} æ ßı Łæ º, 6 nθ 1 Ł, æ æ 6 nθ 2 ª (θ 1 < 1 Ł θ 2 < 1 º øŁ
Æ ßÆ ß º Ł º ß Œ æ ß), Ł Ł Œ ł Ł Œ ß Ø
Œ Ł ƺ ß ˆ º Æ ı — غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ ßı Ł Æ º k 1, ª — Æ º k 2 æ ßı Ł º Ø.
2.2.1 º Æ ª .
º Æ ª — æ Ł º ßØ Ł æ Ł æ º ßØ ł -
, æ ßØ º º Æ ª. — ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S (;,z ), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª -
æ A ºßı Łæ º, Œ ß º æ æ ß Łæº p < z Ł Ł º Œ æ P æ ßı Łæ º.
ˇ æ P (z ) = Qp<z,p ∈P p. º Æ ª æ Ł æ
,
Œ Ł l 1 = 1 º Ł º ßı Øæ Ł º ßı Łæ º. ¨ º Æ -
ª æ æ Ł, Æß, º Ł ld = 0 º d > z, Ł Ł Ł Ł æ æ º ø ª ßÆ æ łŁıæ Łæ º λd (2 6 d < z ).
´ Œ ÆŁ ŁŁ æ ªŁ Ł Ł ł ł º Æ ª º º
ŒŁ æ Ł, æ Æ æŁº ß Ł Łæ º ŁŁ æ ßı Œ ŁØ.
2.2.2 — ł æ .
— ł æ — , Æ ßØ æ (3.. .) Ł º øŁØ æ Ł æ æ ß Łæº Ł º ª. ø æ æ
Œº æ æº ø. ˙ ŒŁ æ Ł Ł. Łæº 2 — æ. ˙ ŒŁ æ æ º ß Łæº, º øŁ æ 2. Łæº 3 — Œ Łæº — Æ æ ß. ˜ º ŒŁ æ æ º ß Łæº, Œ- ß º æ Ł
2 Ł 3. Łæº 5 — Œ Łæº — Æ æ ß. ˇ º º -
ªŁ ß ß Łæº Ł, Ø Ł æŒ º ª Æ º ł Ø Œ æº º æ Ł æ ßı Łæ º. — ł æ łº Ł Ł ªŁı Æ º æŁº ßı ı ł ( Ł ł ´ ).
2.3 ˜Łæ æŁ ßØ .
´ 1959. ´. ¸Ł ŁŒ Æߺ Æ ˜Łæ æŁ ßØ. ˛ Ł Ł ŁŁ Łæ º º ł Ł Œ ßı ÆŁ ßı ŁØ (ÆŁ ßı Ł Ł ßı ƺ
) Ł
α + β = n,
ª α Ł β Ł º Œ æ ª æ ß Ł ı ł æ º ß Ł Ł æŒŁı ª ææŁ ı æº º æ º ßı Łæ º. ˜Łæ æŁ ßØ, æ Ł æ Æ º ß ŁŒ — æ ß Ł ( æ æ Ł, -
Ł Łæ æŁŁ Ł æ Ł Æßł ) æ ºŁ Ł æŒŁ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł
Ł Ł ¨.. ´Ł ª Ł. ´ غ (A. Weil). ø æ æ æ Ł æº -
ø. ¨æı ÆŁ Ł æ Ł æ Œ Ł Ł :
υD 0 + β = n ;
æ υ,D ŁæŁ Æ ª Œ ß Ł Ł ª º Ø Æº æ Ł ª υ Ł D — Œ ß Ł ºß; Ł Łæº υ — æ ß, D ª Æß º ß ºŁ ß º Ł º ß æº Ł. ˇ æ F Æ Łæº ł ŁØ ª Ł. ª º Ł Ł :
υD + β = n
Ł Ł º D ∈ (D ), Ł (n,D ) Æ Łæº ª ł ŁØ, Ø ßı
Ł Œ ŒŁı-ºŁÆ Łæ Ł æŒŁı æ Æ ŁØ. ª ªŁ Ł æŒŁ Łæº Ł ßı ł ŁØ Ł Łæß æ Ł :
.
˛ Œ æ Ł F − S = V Ł Ł :
V = X ( X 1 − A (n,D 0)).
D 0∈(D ) υD 0+β =n
ˇ Ł Ł æ ˚ łŁ Ł Ł Œ æ :
V 2 6 D 0V 0,
ª D 0 — ºŁ Ł º (D ),
V 0 = X ( X 1 − A (n,D 0))2 −
D 0∈(D ) υD 0+β =n
æ Łæ æŁ Łæº ł ŁØ Ł υD 0 + β = n
¯æºŁ | æ æ | Ł | æ | Ł | Ł | æº | ŁŁ | æ ı D ∈ (D ), | |
Æ æ | ß æ | º Ł | º | ß | æº Ł , | º | ß | D 0. ´ | ºŁ Ł |
Łæ æŁŁ º Œ æ Ł. ˇ
ß Σ1, Σ2 Ł Σ3 Œ ßı æº ı æ ß ŁæºŁ æŁ Ł æŒŁ. ˆº -
æ æ º ß Łæº Ł Σ1 — æ Ø æ ß ˜Łæ æŁ ª . æŁ Ł æŒŁØ æ æ ß Σ1 æ ø æ º æ Ł øŁ ´Ł ª æ º Œ ßı Œ ŁØ Œ ºŁ æ Łı Æ ßı æ Ø, øŁı ßØ æ ª, Œ æ Łæ º Ł ØłŁı Œ Łª Ł æŒŁı æ, º ßı æ æ Ł ºª Æ Ł æŒ Ø ª ŁŁ. æŁ ŁŒ º æ Σ2 Ł Σ3 ı Ł æ º ª æ Ł Ł. ¯æºŁ, º, Łæ æŁ Œ ßæ æºŁłŒ Æ º ł Ø, º æ æŁ ŁŒ º Łæº ł ŁØ Ł | |||
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