Контрольная работа: по Математике
Заказ №1459
№1
Округлить сомнительные цифры числа а, оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.
Решение
а) По условию . Следовательно, в числе верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех
значащих цифр: . Тогда
Так как , то число a 1 имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда
Так как , то число a 2 имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда
Так как , то две оставшиеся цифры результата верны в узком смысле. Таким образом,
б) Представим в видеи найдем
примем. Так как, то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда
Так как, то три оставшиеся цифры результата верны в широком смысле. Таким образом,
.
Ответ: а) , ;
б) ,
№2
Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x ) с заданными узлами xk (k = 0, 1, 2, 3)
Решение
Прежде всего, заметим, что
Применяя формулу (3) при n = 3, получим:
Ответ:
№3
Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей
х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
у | 1,8 | 1,3 | 3,3 | 4,8 | 3,8 |
Решение
Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу
1 2 3 4 | 1 2 3 4 5 | 1,8 1,3 3,3 4,8 3,8 | 1,8 2,6 9,9 19,2 19 | 1 4 9 16 25 |
15 | 15 | 52,5 | 55 |
Нормальная система уравнений принимает вид
Следовательно, искомая эмпирическая формула
Ответ:
№4
Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.
Решение
Определяем значения подынтегральной функции при для следующих значений аргумента
Находим соответствующие значения функции :
Тогда получаем
Ответ:
№5
Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до
Решение
Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим
Составляем таблицу знаков функции
- | + | - | + |
Уравнение имеет три действительных корня:
Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1
-3 | -2 | 1 | 2 | 3 | ||
- | + | + | - | - | + |
Значит,
Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем
при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем
. Все вычисления сводим в таблицу
1 2 3 4 | 3 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 | 67 15,4003 2,1721 0,0765 -0,0005 | 103 57,3388 41,4471 38,5488 38,4394 | 0,651 0,267 0,0524 0,0020 | 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 2,0265 |
Искомый корень
Ответ:
№6
Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y ’ = f (x, y ), удовлетворяющего начальному условию y (1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой
Решение
Находим последовательные значения аргумента
Обозначим
Для удобства вычислений составим таблицу
1 2 3 4 5 | 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 | 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 | 1 0,9907 0,9824 0,9750 0,9686 | 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 |
Таким образом, имеем следующую таблицу
х | 1 | 1,01 | 1,02 | 1,03 | 1,04 | 1,05 |
у | 0,01 | 0,0199 | 0,0297 | 0,0395 | 0,0491 |
Ответ: таблица.