Контрольная работа: Вычисление наибольшей прибыли предприятия

Содержание

Задача 1. 2

Задача 2. 4

Задача 3. 6


Задача 1

Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3 -7х и D(x)=2х2 +9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

,

,

.

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

— не удовлетворяет условию задачи,

.


График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 — График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.


Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1 =1 и р2 =1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :

при .

,

.

Найдем максимум функции графически.


Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х1 =90.

,

.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1 =90 и х2 =60.


Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

х у
1 5 70
2 11 65
3 15 55
4 17 60
5 2 50
6 22 35
7 25 40
8 27 30
9 30 25
10 35 32

1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0и b1 .

8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0и b1 .

9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0и b1 регрессии Y на X.

10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1) Корреляционное поле случайных величин X и Y

2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 – Вспомогательные расчеты

х у х2 y2 xy
1 5 70 25 4900 350
2 11 65 121 4225 715
3 15 55 225 3025 825
4 17 60 289 3600 1020
5 2 50 4 2500 100
6 22 35 484 1225 770
7 25 40 625 1600 1000
8 27 30 729 900 810
9 30 25 900 625 750
10 35 32 1225 1024 1120
сумма 189 462 4627 23624 7460
средн 18,9 46,2 462,7 2362,4 746

Математическое ожидание:

,

.

Дисперсия:

,

.

Среднеквадратическое отклонение:

,

.

Размах вариации:

,

.

3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции


Ковариация:

.

Коэффициент корреляции:

.

4) Уравнение линейной регрессии Y на X

,

,

.

5) Уравнение линейной регрессии X на Y

,

,

.

6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии


Точка пересечения (18,4;46,9).

7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0и b1

Таблица 3 – Вспомогательные расчеты

х у x' y' x-xcp y-ycp (x-xcp )2 (y-ycp )2
1 5 70 5,572 62,975 -13,028 16,775 169,7288 281,4006
2 11 65 8,3645 55,745 -10,2355 9,545 104,7655 91,10702
3 15 55 13,9495 50,925 -4,6505 4,725 21,62715 22,32562
4 17 60 11,157 48,515 -7,443 2,315 55,39825 5,359225
5 2 50 16,742 66,59 -1,858 20,39 3,452164 415,7521
6 22 35 25,1195 42,49 6,5195 -3,71 42,50388 13,7641
7 25 40 22,327 38,875 3,727 -7,325 13,89053 53,65563
8 27 30 27,912 36,465 9,312 -9,735 86,71334 94,77023
9 30 25 30,7045 32,85 12,1045 -13,35 146,5189 178,2225
10 35 32 26,795 26,825 8,195 -19,375 67,15803 375,3906
сумма 189 462 188,643 462,255 2,643 0,255 711,7565 1531,748
средн 18,9 46,2 18,8643 46,2255 0,2643 0,0255 71,17565 153,1748

Для линии регрессии Y на X:

,

,

.

Для линии регрессии X на Y:

,

,

.

8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0и b1

Для α =0,05 и k =n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t =2,31

Для линии регрессии Y на X:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.


Для линии регрессии X на Y:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0и b1 регрессии Y на X

Доверительный интервал для b0:

<a0<,

<a0<,

54,97<a0<83,03.

Доверительный интервал для b1 :

<a1 <,

<a1 <,

-1,23<a1 <-1,17.

10) Коэффициент детерминации R2 :

.


Коэффициент детерминации R2 =0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.

еще рефераты
Еще работы по математике