Курсовая работа: Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

--PAGE_BREAK--1.                Диаметр фигуры


Рассмотрим круг диаметра d. Расстояние между любыми двумя точками М и N этого круга (рис.1) не превосходит d. В то же время можно найти две точки А и В нашего круга, удаленные друг от друга в точности на расстояние d.

Рассмотрим теперь вместо круга какую-нибудь другую фигуру. Что можно назвать «диаметром» этой фигуры?
<img width=«236» height=«121» src=«ref-1_1472173312-5429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">
Сказанное выше наводит на мысль назвать диаметром фигуры наибольшее из расстояний между ее точками. Иначе говоря, диаметром фигуры F (рис. 2) называется такое расстояние d, что, во-первых, расстояние между любыми двумя точками М и N фигуры не превосходит d, и, во-вторых, можно отыскать в фигуре F хотя бы одну пару точек А, В, расстояние между которыми в точности равно d.

Пусть, например, фигура F представляет собой полукруг (рис.3).
<img width=«105» height=«69» src=«ref-1_1472178741-2100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">
Обозначим через А и В концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром фигуры F является длина отрезка АВ. Вообще, если фигура F представляет собой сегмент, ограниченный дугой l и хордой а, то в случае, когда дуга l не превосходит полуокружности, диаметр фигуры F равен а (т.е. длине хорды); в случае же, когда дуга l больше полуокружности, диаметр фигуры F совпадает с диаметром всего круга.

Понятно, что если F представляет собой многоугольник, то его диаметром является наибольшее из расстояний между вершинами. В частности, диаметр любого треугольника равен длине его наибольшей стороны. Приведенное определение диаметра фигуры неявно предполагает, что каждая рассматриваемая «фигура» представляет собой замкнутое множество (т.е. к фигуре причисляются все ее граничные точки). Например, если F — открытый круг диаметра d (т.е. круг, к которому не причисляются точки ограничивающей его окружности), то точная верхняя грань расстояний между двумя точками фигуры F равна d; однако в этом случае не существует двух точек фигуры F, расстояние между которыми в точности равно d. Если же мы причислим к фигуре F все граничные точки (т.е. будем рассматривать замкнутый круг), то эта верхняя грань будет достигаться: найдутся две точки А и В, расстояние между которыми равно d.



2.                Фигуры постоянной ширины


Пусть F — ограниченная выпуклая фигура и l — некоторая прямая. Проведем к фигуре F две опорные прямые, параллельные l (опорная прямая — прямая, имеющая хотя бы одну общую точку с фигурой F и вся фигура F расположена по одну сторону от l).

Расстояние h между этими двумя опорными прямыми называется шириной фигуры F в направлении l.
<img width=«129» height=«117» src=«ref-1_1472180841-3016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> <img width=«255» height=«124» src=«ref-1_1472183857-3642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">
Нетрудно заключить, что высота равностороннего треугольника является его наименьшей шириной, а его сторона — наибольшей шириной. У круга ширина в любом направлении одна и та же: она равна диаметру круга.

Существует бесконечное множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Простейшим примером такой фигуры является треугольник Релло, изображенный на рис.6. Он представляет собой пересечение трех кругов радиуса h, центры которых находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной h.

Вообще, если F — правильный многоугольник с нечетным числом вершин и h — длина наибольшей из его диагоналей, то, соединяя каждые две соседние его вершины дугой окружности радиуса h с центром в противоположной вершине, мы получаем фигуру постоянной ширины h (рис.7).


<img width=«204» height=«205» src=«ref-1_1472187499-7462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">
Это построение проходит и в том случае, если многоугольник диаметра h с нечетным числом сторон является правильным, но из каждой его вершины исходят две диагонали длины h (рис.8).

Прежде всего, отметим, что диаметр фигуры постоянной ширины равен ее ширине: d=h. Через каждую граничную точку фигуры постоянной ширины d проходит хотя бы один диаметр этой фигуры (т.е. хорда, имеющая длину d). Границу фигуры постоянной ширины d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.

Всякие два диаметра фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры, либо на ее границе, рис.8, 9). При этом, если два диаметра АВ и АС имеют общую граничную точку А, то дуга ВС радиуса d с центром в точке А целиком лежит на границе фигуры (рис.10).
<img width=«109» height=«127» src=«ref-1_1472194961-2222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">
Наконец, отметим, что если F — фигура постоянной ширины и АВ — ее диаметр, то прямые l1 и l2, проходящие через точки А и В и перпендикулярные к отрезку АВ, являются опорными прямыми фигуры F (рис.11).
    продолжение
--PAGE_BREAK--3.                Кривые постоянной ширины и их свойства


Наши предки использовали колесо, круглые брёвна одинакового диаметра для перемещения огромных камней, плит, массивных скульптур, на которые ставили плоскую платформу с грузом. Такой способ возможен потому, что круг – фигура постоянной ширины. Но круг не единственная фигура постоянной ширины. Более того, таких фигур бесконечно много. Это могут быть симметричные фигуры, построенные на основе правильных многоугольников, так и несимметричные фигуры, одна из них – треугольник Рело.

Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины.

Ещё одно из удивительных свойств состоит в том, что все кривые одной им той же ширины имеют одинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числу кривых постоянной ширины, периметр любой кривой постоянной ширины d равен длине окружности диаметра d, то есть величине <img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1472197183-216.coolpic» alt=«pi000000» v:shapes=«Рисунок_x0020_2»>d. Представим себе каток постоянной ширины d, который катится без проскальзывания между параллельными прямыми a и b. Будем считать прямую a неподвижной, а прямую b движущейся с постоянной скоростью v. Сделав один оборот, каток переместится на расстояние l, где l – длина кривой, которая ограничивает сечение катка, т.е. длина кривой постоянной ширины d. Время полного оборота катка обозначим буквой t. За это время прямая b переместится по отношению к катку также на расстояние l и, значит, по отношению к неподвижной прямой a — на расстояние 2l, поэтому 2l = vt. С другой стороны, в каждый момент времени движение катка можно рассматривать как вращение вокруг точки, в которой каток опирается на прямую a. Если угловая скорость вращения катка равна ω, то скорость v движения прямой b, равна ωd. Итак, 2l = ωdt. Но ωt представляет собой угол, на который повернулся каток за время t, т.е. ωt = 2<img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1472197183-216.coolpic» alt=«pi000000» v:shapes=«Рисунок_x0020_3»>. Таким образом, 2l = 2<img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1472197183-216.coolpic» alt=«pi000000» v:shapes=«Рисунок_x0020_4»>d,l = <img width=«14» height=«15» src=«ref-1_1472197183-216.coolpic» alt=«pi000000» v:shapes=«Рисунок_x0020_5»>d.

Несимметричные кривые представляют собой почти произвольные фигуры. Рассмотрим какой-либо набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмём соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведём окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Оказывается, при таком построении кривая замкнётся и будет иметь постоянную ширину.

Также существуют трёхмерные аналоги кривых постоянной ширины – тела постоянной ширины. Сфера — не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время касаясь всех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины. Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело, образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии. Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширине, получаются из правильного тетраэдра, так же как треугольник Рело — из равностороннего треугольника (рис.7).
<img width=«262» height=«87» src=«ref-1_1472198047-6015.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

Рис.12 Тела постоянной ширины.




4.               
Треугольник Рело

4.1 Исторические сведения

Рассмотрим подробнее наиболее известную фигуру — треугольник Рело, названный по имени придумавшего его механика Франца Рело – немецкого учёного-инженера, жившего с1829 по 1905 г.г… В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—96 профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др… Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом в технике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов.

Эта фигура обладает частью важнейших свойств круга. Построить это треугольник просто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрам которых являются вершины, а радиусами – стороны треугольника (на любом правильном нечётном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что и треугольник Рело). На самом деле эта фигура не является треугольником. Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную стороне исходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка при перемещении поверхности, но его гораздо сложнее изготовить, чем круг.

Построим пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рело. Проведём ещё пару касательных, перпендикулярных первой паре. Фигура окажется «запертой» в квадрате и будет касаться каждой из его сторон. При вращении фигуры в квадрате она будет постоянно прилегать ко всем сторонам квадрата.
    продолжение
--PAGE_BREAK--4.2 Очертание четырёхугольника


Наиболее известное свойство треугольника Рело – очертание четырёхугольника сложенным вращением этого треугольник (рис.8).
<img width=«280» height=«280» src=«ref-1_1472204062-14308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
Если вращать треугольник А1В1С1 вокруг центра О1 описанной вокруг него окружности с радиусом О1А1, а центр треугольника О1 вращать в противоположную сторону в три раза быстрее по окружности с центром N, то треугольник очертит фигуру, которая незначительно отличается от четырёхугольника. А именно, за один оборот центра О1 направо по окружности с радиусом О1N два угла четырёхугольника будут оформлены вершиной А треугольника Рело и по одному – вершинами В и С, т.е. через каждую четверть оборота вокруг центра N треугольника Рело будет находиться в положении А2В2С2, А3В3С3 иА4В4С4.

Выполненные на рисунке построения показывают небольшую кривизну сторон четырёхугольника, о которой также указывают инженеры. По их данным, наибольшее отклонение стороны от идеальной прямой имеет место в середине стороны. Треугольник Рело при вращении контактирует с точкой D серединой своей стороны.

Обозначим через R- радиус, описанного около треугольника Рело круга, r=О1N. Тогда
А1В1=А2В2=А3В3=А4В4=R<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1472218370-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">,

ND=r<img width=«14» height=«22» src=«ref-1_1472218660-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">R+R<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1472218370-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">
Из треугольника А1NА4 получаем
А1N=r<img width=«14» height=«22» src=«ref-1_1472218660-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">R, NЕ=<img width=«54» height=«35» src=«ref-1_1472219138-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">
Из равенства DE=ND=NE следует, что
DE= r – R + R<img width=«99» height=«35» src=«ref-1_1472219684-678.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">,

DE=R(<img width=«41» height=«25» src=«ref-1_1472220362-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">1<img width=«34» height=«35» src=«ref-1_1472220672-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">)+r(1<img width=«34» height=«35» src=«ref-1_1472220672-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">)<img width=«13» height=«22» src=«ref-1_1472221276-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">0,025R+0,293r.
Вычислив кривизну, получаем:
DE ~ 0.025R + 0.293r
Таким образом, отклонение DE стороны квадрата от сделанной прямой зависит, в первую очередь, от радиуса r и не может быть устранено, потому что R и r не могут равняться нулю.

4.3          
Движение вершины и центра треугольника Рело

Попробуем построить траектории движения двух характерных точек треугольника Рело при качении его по плоской горизонтальной поверхности. Такими точками будут одна из вершин треугольника и его геометрический центр. Моделирование одного полного оборота треугольника Рело показано на рисунке.
<img width=«296» height=«229» src=«ref-1_1472221469-16307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

Рис.14
На фигурах 2, 6, 10 треугольник катится по поверхности окружности, на фигурах 4, 8, 12 треугольник переваливается через вершину, на остальных фигурах происходит смена характера движения треугольника с качения на переваливание и наоборот. Рассмотрим движение вершины треугольника. На фигурах 1, 2, 3 помеченная вершина движется линейно, по прямой (Рис. 10). Фактически помеченная вершина является центром вращения окружности, элементом которой является поверхность стороны треугольника Рело. На фигуре 3 помеченная вершина меняет траекторию движения с прямолинейной на траекторию движения по окружности с радиусом, равным длине стороны, по которой он движется на фигурах 3, 4, 5.

На фигуре 5 происходит смена траектории движения вершины. На фигурах 5, 6, 7 вершина движется по трохоиде точки, находящейся на поверхности окружности с радиусом, равным длине стороны треугольника.На фигурах 7, 8, 9 меченная вершина является точкой перевалатреугольника, она жестко лежит на поверхности. Фигуры 9, 10, 11 – опять трохоида и 11, 12, 1 – движение по окружности. По аналогии эти фигуры описаны выше. Меченая вершина возвращается в исходную точку. Треугольник Рело совершил полный оборот.


<img width=«284» height=«125» src=«ref-1_1472237776-5721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Рис.15Движение вершины треугольника.
<img width=«276» height=«96» src=«ref-1_1472243497-5666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">

Рис.16 Движение центра треугольника.
<img width=«283» height=«166» src=«ref-1_1472249163-6669.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">

Рис.17
Очень важной является траектория движения геометрического центра треугольника. Если обозначить длину стороны треугольника через R, то расстояние от вершины до геометрического центра будет равно R/<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1472218370-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">. На фигурах 3 – 4 – 5, 7 – 8 — 9, 11 – 12 – 1 (Рис.16) центр движется по дугам с радиусом именно R/<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1472218370-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">. На фигурах же 1 – 2 – 3, 5 – 6 – 7, 9 – 10 – 11 центр движется по трохоиде, причем расстояние от центра катящейся окружности (не путать с геометрическим центром треугольника, Рис. 15) до траектории искомой точки опять же равно R/<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1472218370-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">.
4.4          
Площадь треугольника Рело

Одна из задач моей работы: доказать, что из всех фигур постоянной ширины d треугольник Рело имеет наименьшую площадь.
<img width=«88» height=«107» src=«ref-1_1472256702-2903.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">
Для начала найдем площадь треугольника Рело:
<img width=«176» height=«22» src=«ref-1_1472259605-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">

<img width=«56» height=«36» src=«ref-1_1472260450-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">;

<img width=«347» height=«36» src=«ref-1_1472260995-1466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">;

<img width=«540» height=«40» src=«ref-1_1472262461-2186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">
Следовательно, площадь треугольника Рело равна
<img width=«161» height=«34» src=«ref-1_1472264647-859.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">
Попробуем доказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь. Обозначим через n количество сторон многоугольника.

Пусть дан какой-то правильный n–угольник (с нечетным числом сторон), следовательно, его шириной будет наибольшая из диагоналей (в данном случае их две).
<img width=«552» height=«24» src=«ref-1_1472265506-1847.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

(при n<img width=«16» height=«22» src=«ref-1_1472267353-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"><img width=«16» height=«12» src=«ref-1_1472267496-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">), <img width=«162» height=«34» src=«ref-1_1472267582-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">.
Оценим <img width=«26» height=«34» src=«ref-1_1472268436-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">и площадь треугольника Релло:
<img width=«368» height=«35» src=«ref-1_1472268848-1516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">, <img width=«94» height=«25» src=«ref-1_1472270364-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">><img width=«13» height=«22» src=«ref-1_1472270857-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">



Следовательно, <img width=«22» height=«34» src=«ref-1_1472271076-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068"> больше площади треугольника Рело, а равносторонний, треугольник является многоугольником с наименьшим числом вершин (сторон). Значит, с увеличением числа вершин многоугольника площадь фигуры постоянной ширины, в которую вписан этот многоугольник, будет увеличиваться.

Попробуем доказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь через n— количество сторон многоугольника.

Доказательство.

Итак, площадь треугольника Рело равна <img width=«133» height=«35» src=«ref-1_1472271488-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">.

Пусть дан правильный многоугольник со стороной а. О — центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОН<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272339-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">АD;<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">АОD=<img width=«33» height=«32» src=«ref-1_1472272516-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> (n-число сторон), т.к. треугольник равнобедренный, ОН –биссектриса угла АОD.




<img width=«212» height=«126» src=«ref-1_1472272841-6172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">
Следовательно,
 <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">АОН=<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">НОD; <img width=«15» height=«22» src=«ref-1_1472279193-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">АОН: <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">АОН=<img width=«33» height=«32» src=«ref-1_1472279511-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">; АН=<img width=«12» height=«30» src=«ref-1_1472279827-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">, то <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1472280054-753.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">.

<img width=«402» height=«50» src=«ref-1_1472280807-2035.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">.
Диаметром многоугольника является его наибольшая диагональ (в данном случае их две). Рассмотрим центральный угол АОВ и вписанный в окружность угол АМВ (рис. 21), то <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">АОВ=2<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">АМВ, <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1472272426-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">АМВ=<img width=«33» height=«32» src=«ref-1_1472279511-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">. AM=MB, то по теореме косинусов
<img width=«262» height=«34» src=«ref-1_1472283428-1102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, то

<img width=«378» height=«60» src=«ref-1_1472284530-2414.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">
Площадь фигуры, в которую вписан правильный многоугольник состоит из площади многоугольника и суммы площадей равных сегментов. Площадь сегмента равна
<img width=«417» height=«42» src=«ref-1_1472286944-1769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

(Sсегмента=Sсектора <img width=«18» height=«22» src=«ref-1_1472288713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">Sтреугольника АМВ).

<img width=«302» height=«62» src=«ref-1_1472288807-3538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">
<img width=«127» height=«162» src=«ref-1_1472292345-5134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
Остается доказать, что это выражение будет всегда больше площади треугольника Рело, т.е. больше чем<img width=«106» height=«34» src=«ref-1_1472297479-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">. Для этого вычтем из площади треугольника Рело площадь фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник и докажем, что эта разность при n>3 всегда будет отрицательной:
<img width=«385» height=«65» src=«ref-1_1472298060-2256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

<img width=«423» height=«65» src=«ref-1_1472300316-2433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

<img width=«487» height=«39» src=«ref-1_1472302749-2222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">

<img width=«403» height=«44» src=«ref-1_1472304971-2112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

Итак, при любом n>3
<img width=«403» height=«34» src=«ref-1_1472307083-1942.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">


Следовательно, разность площади треугольника Рело и площади фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник, отрицательна.Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.




5.               
Применение треугольника Рело

5.1 Применение в некоторых механических устройствах

Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используется его свойство кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (рис.22). С 1916 года одна из фирм приступила к производству свёрл Уаттса. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены ржущие кромки.
<img width=«158» height=«189» src=«ref-1_1472309025-4699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

Рис.22 Сверло Уаттса
    продолжение
--PAGE_BREAK--