Курсовая работа: Аналогии в курсе физики средней школы
--PAGE_BREAK--Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_345753852-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">+<img width=«55» height=«24» src=«ref-1_345754062-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> , где
<img width=«76» height=«49» src=«ref-1_345754307-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">, <img width=«71» height=«49» src=«ref-1_345754608-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">, тогда имеем
<img width=«171» height=«44» src=«ref-1_345754916-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">(1)
Так как
<img width=«89» height=«49» src=«ref-1_345755381-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> и <img width=«79» height=«49» src=«ref-1_345755731-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> получаем
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045"> <img width=«167» height=«68» src=«ref-1_345756266-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">=const (2)
Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i
=
q
' — мгновенное значение силы тока, qmax — максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вывод о зависимости силы тока от величины заряда и находим значение максимальной силы тока:
<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_345756873-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">; <img width=«67» height=«44» src=«ref-1_345757213-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> Откуда
<img width=«169» height=«40» src=«ref-1_345757529-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> при q=0.
Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.
Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.
<img width=«136» height=«68» src=«ref-1_345757957-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> или
<img width=«120» height=«68» src=«ref-1_345758401-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (3)
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">
Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.
Вычисляя обе производные получаем:
<img width=«123» height=«41» src=«ref-1_345758997-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
<img width=«80» height=«48» src=«ref-1_345759370-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">
так как <img width=«45» height=«29» src=«ref-1_345759664-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, тогда
<img width=«76» height=«41» src=«ref-1_345759895-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> и <img width=«53» height=«29» src=«ref-1_345760192-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">
получаем
<img width=«79» height=«41» src=«ref-1_345760424-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">
<img width=«84» height=«41» src=«ref-1_345760721-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059"> (4)
Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.
Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> Выведем груз из положения равновесия, растянув пружину на длину Хm(рис.2) и отпустим. (Амплитудное растяжение пружины Xmдолжно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука <img width=«101» height=«29» src=«ref-1_345761182-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061"> и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)
<img width=«129» height=«135» src=«ref-1_345761501-3333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> Рис.2
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xm£x£xm. По закону сохраненья энергии имеем:
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> <img width=«416» height=«63» src=«ref-1_345765341-948.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> (5)
где X0=
mg/
k — статическое растяжение пружины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равновесия груза, обозначенного на рис.2 пунктиром). Учитывая, что <img width=«51» height=«27» src=«ref-1_345766289-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> и <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_345766518-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">, получим уравнение колебаний
<img width=«535» height=«80» src=«ref-1_345766732-1274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">
<img width=«477» height=«65» src=«ref-1_345768006-982.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"><img width=«176» height=«59» src=«ref-1_345769157-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">=соnst<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> (6)
Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.
Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении(5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колебания груза на пружине не зависят отg и одинаковы, например, на Земле и Луне.
Хотя в дифференциальные уравнения(1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.
По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:
<img width=«45» height=«17» src=«ref-1_345769819-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">; <img width=«51» height=«41» src=«ref-1_345770050-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">; <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_345770297-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">
получим
<img width=«96» height=«59» src=«ref-1_345770529-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">, (7)
Отклоним теперь математический маятник длинойl (рис.3) от положения равновесия на длину дуги sm<<lи отпустим. Мгновенная высота подъема маятника
рис.3
<img width=«176» height=«236» src=«ref-1_345770865-3921.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
<img width=«280» height=«63» src=«ref-1_345774786-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">
так как при a<<1 можно считать <img width=«69» height=«41» src=«ref-1_345775490-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, а s=la. По закону сохранения энергии имеем:
<img width=«112» height=«49» src=«ref-1_345775797-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">, где <img width=«51» height=«49» src=«ref-1_345776147-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">
<img width=«212» height=«63» src=«ref-1_345776429-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">
или
<img width=«200» height=«63» src=«ref-1_345777081-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">=const (8)
По аналогии с формулами (4) и (7) x®q®s; <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_345777665-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> ; <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_345777927-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> получаем:
S``=— <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_345778206-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> (9)
Различие уравнений(1), (6) и(9) состоит только в обозначениях и физическом смысле входящих в них величин.
Если не предполагать sm<<l (соответственно am=<img width=«24» height=«43» src=«ref-1_345778441-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><<1 рад.), то получится сложное уравнение, решить которое в рамках школьного курса невозможно. Оно будет описывать колебания, период которых зависит от амплитуды. Строго говоря, период колебаний маятника всегда зависит от am, однако при sm<<l рад. этой зависимостью можно пренебречь.
Процессы в колебательном контуре станут понятнее учащимся при рассмотрении преобразований энергий, которые происходят при колебаниях, используя таблицу 2.
Время
Колебательный контур
Пружинный маятник
<img width=«35» height=«19» src=«ref-1_345778662-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
На конденсаторе находится заряд q; энергия электрического поля Wэ максимальна. Энергия магнитного поля Wм равна нулю
<img width=«65» height=«45» src=«ref-1_345778867-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">; <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_345779180-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">
Смешение Xтела от положения равновесия— наибольшее; его потенциальная энергия Wп максимальна, кинетическая Wкравна нулю
<img width=«72» height=«45» src=«ref-1_345779414-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">;<img width=«49» height=«24» src=«ref-1_345779723-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">
<img width=«64» height=«41» src=«ref-1_345779959-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">
При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку: возникает ток и связанное с ним магнитное поле. Вследствие самоиндукции сила тока нарастает постепенно; энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345780234-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">
Тело приходит в движение, его скорость возрастает постепенно. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345780507-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">
<img width=«40» height=«41» src=«ref-1_345780783-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">
Конденсатор разрядился, сила тока Iмаксимальна, энергия электрического поля равна нулю, энергия магнитного поля максимальна
Wэ=0; <img width=«69» height=«43» src=«ref-1_345781025-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">
При прохождении положения равновесия скоростьv0, тела и его кинетическая энергия максимальны, потенциальная энергия равна нулю
Wп=0; <img width=«76» height=«45» src=«ref-1_345781317-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
<img width=«69» height=«41» src=«ref-1_345781626-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">
Вследствие самоиндукции сила тока уменьшается постепенно; на конденсаторе начинает накапливаться заряд и
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345781933-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">
Тело, достигнув положения равновесия, продолжает движение по инерции с постепенно уменьшающейся скоростью и
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345782207-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
<img width=«40» height=«41» src=«ref-1_345782485-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">
Конденсатор перезарядился; сила тока в цепи равна нулю
<img width=«65» height=«45» src=«ref-1_345778867-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">; Wм=0
Пружина максимально растянута: скорость тела равна нулю
<img width=«72» height=«45» src=«ref-1_345779414-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">; Wk=0
<img width=«76» height=«41» src=«ref-1_345783347-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">
Разрядка конденсатора возобновляется; ток течет в противоположном направлении; сила тока постепенно возрастает
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345780234-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">
Тело начинает движение в противоположном направлении с постепенно увеличивающейся скоростью
<img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345783939-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">
<img width=«47» height=«41» src=«ref-1_345784216-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">
Конденсатор полностью разрядился; сила токаI0 в цепи максимальна
Wэ=0; <img width=«75» height=«45» src=«ref-1_345784471-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">
Тело проходит положение равновесия, его скорость максимальна
Wп=0; <img width=«76» height=«45» src=«ref-1_345781317-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">
<img width=«73» height=«41» src=«ref-1_345785083-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">
Вследствие самоиндукции ток продолжает течь в том же направлении, конденсатор начинает заряжаться <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_345781933-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
По инерции тело движется к крайнему положению
<img width=«67» height=«24» src=«ref-1_345785645-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">
<img width=«37» height=«19» src=«ref-1_345785918-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">
Конденсатор снова заряжен, ток в цепи отсутствует, состояние контура аналогично первоначальному
<img width=«65» height=«45» src=«ref-1_345778867-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">; Wм=0
Смещение тела максимально, его скорость равна нулю и состояние аналогично первоначальному
<img width=«72» height=«45» src=«ref-1_345779414-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">; Wk=0
§
2.
Решение уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятниках.
Найдем решение уравнения:
<img width=«101» height=«49» src=«ref-1_345786753-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> (1)
Нельзя считать, что <img width=«99» height=«27» src=«ref-1_345787073-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> или <img width=«96» height=«27» src=«ref-1_345787374-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">, так как вместо <img width=«101» height=«49» src=«ref-1_345786753-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> получилось бы равенство
<img width=«161» height=«32» src=«ref-1_345788001-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">
Чтобы в выражении второй производной <img width=«21» height=«32» src=«ref-1_345788366-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">был множитель <img width=«33» height=«49» src=«ref-1_345788578-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> запишем уравнение (1) в виде:
<img width=«141» height=«55» src=«ref-1_345788814-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> (2)
Найдем первую и вторую производные:
<img width=«199» height=«55» src=«ref-1_345789242-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"><img width=«224» height=«47» src=«ref-1_345790106-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
Функция (2) есть решение исходного уравнения (1). Функция
<img width=«115» height=«47» src=«ref-1_345790607-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> есть также решение исходного уравнения.
Обозначим постоянную величину <img width=«43» height=«47» src=«ref-1_345790971-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, зависящую от свойств системы, через <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"><img width=«21» height=«24» src=«ref-1_345791403-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">: <img width=«79» height=«45» src=«ref-1_345791609-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
Тогда решение уравнения (2) можно записать:
<img width=«100» height=«24» src=«ref-1_345791897-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> (3)
Тогда уравнение (1), описывающее свободные электромагнитные колебания примет вид:
<img width=«84» height=«27» src=«ref-1_345792189-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">(4)
Из курса математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно, ω0=2π,
<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_345792472-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">. Так как <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"><img width=«71» height=«41» src=«ref-1_345792916-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">, тогда период колебаний равен
<img width=«121» height=«45» src=«ref-1_345793198-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> — формула Томсона.
Аналогично этим рассуждениям решим уравнение для колебаний вертикального пружинного маятника:
<img width=«75» height=«41» src=«ref-1_345793572-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> (5)
Запишем уравнение (5) в виде:
<img width=«107» height=«47» src=«ref-1_345793845-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> (6)
Найдем первую и вторую производные:
<img width=«148» height=«47» src=«ref-1_345794205-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
<img width=«195» height=«47» src=«ref-1_345794663-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">
Функция (6) есть решение исходного уравнения. Функция <img width=«104» height=«47» src=«ref-1_345795160-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> есть также решение исходного уравнения. Обозначим постоянную величину
<img width=«33» height=«47» src=«ref-1_345795518-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> через w0получим
<img width=«95» height=«24» src=«ref-1_345795780-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> (7)
Тогда уравнение (5) будет иметь вид:
<img width=«77» height=«27» src=«ref-1_345796058-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> (8)
Период колебаний для пружинного маятника по аналогии с формулой Томсона
<img width=«84» height=«24» src=«ref-1_345796318-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">
где <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_345770297-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">; <img width=«51» height=«41» src=«ref-1_345796840-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> получим
<img width=«77» height=«47» src=«ref-1_345797089-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> (9)
Аналогично выше изложенным рассуждениям решим уравнение для колебаний математического маятника:
<img width=«68» height=«43» src=«ref-1_345797419-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> (10)
Запишем уравнение (10) в виде:
<img width=«101» height=«47» src=«ref-1_345797679-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> (11)
Найдем первую и вторую производные уравнения (11):
<img width=«140» height=«47» src=«ref-1_345798020-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
<img width=«181» height=«47» src=«ref-1_345798453-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
Функция (11) есть решение уравнения (10). Обозначим постоянную величину <img width=«29» height=«47» src=«ref-1_345798922-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> , зависящую от свойств системы, через w0получим:
<img width=«92» height=«24» src=«ref-1_345799179-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">(12)
Тогда уравнение (10) примет вид:
<img width=«73» height=«27» src=«ref-1_345799450-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> (13)
По аналогии с формулой(8) и формулой Томсона, для математического маятника период колебаний равен:
<img width=«76» height=«19» src=«ref-1_345799711-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">; <img width=«79» height=«19» src=«ref-1_345777665-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> ; <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_345777927-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
<img width=«103» height=«71» src=«ref-1_345800499-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> (14)
Уравнения (4), (8) и (13) являются решениями уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятникам.
продолжение
--PAGE_BREAK--§ 3 Решение физических задач.
Рассмотрим несколько задач, решение которых методом аналогии возможно на уроках и факультативных занятиях в 11 классах (после изучения раздела «Электрические колебания) и при повторении материала.
Задача1. Изобразите механические системы, аналогичные электрическим цепям, схематически изображенными на рис.1, а, б
<img width=»156" height=«123» src=«ref-1_345800886-4902.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"><img width=«148» height=«139» src=«ref-1_345805788-2732.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
Решение. Аналогичная механическая система соответствующая рис.1, а, б должна содержать тело массой m и две пружины с разными жестокостями <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_345808520-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">и <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_345808723-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">
а) Общая емкость системы конденсаторов (рис.1, а) равна
<img width=«89» height=«25» src=«ref-1_345808931-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения
<img width=«91» height=«52» src=«ref-1_345809215-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Это соответствует последовательному соединению двух пружин. Учитывая, что один конденсатор заряжен, искомую механическую систему можно представить в виде одной сжатой пружины жесткость <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_345808520-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">и одной недеформированной пружины жесткостью <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_345808723-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">(рис.2, а).
б) Аналогично рассмотрим вторую схему.
Общая емкость системы конденсаторов (рис.1, б) равна
<img width=«100» height=«52» src=«ref-1_345809966-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая жесткость пружин искомой механической системы находится из соотношения
<img width=«80» height=«25» src=«ref-1_345810292-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
Это соответствует параллельному соединению двух пружин(рис.2, б).
<img width=«204» height=«233» src=«ref-1_345810581-14972.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">рис.2.
Задача2На рис.3, а, б изображены колебательные контуры. Придумайте механические аналоги им.
<img width=«101» height=«117» src=«ref-1_345825553-9383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">
рис.3, а
О т в е т. Аналогичная механическая система соответствующая рис.3, а, б должна содержать два тела массами <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_345834936-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">и <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_345835139-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, и пружину жесткостью k.
а) Общая индуктивность системы при последовательном соединении катушек равна
<img width=«85» height=«25» src=«ref-1_345835348-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
Используя аналогию механических и электрических величин найдем, что общая масса
<img width=«93» height=«25» src=«ref-1_345835611-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">
А это соответствует рис.4, а
<img width=«224» height=«91» src=«ref-1_345835876-4269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">
Рис.4.а
б) Аналогично рассматриваем вторую схему.
Общая индуктивность параллельно соединенных катушек находится из соотношения
<img width=«95» height=«52» src=«ref-1_345840145-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">
Используя аналогию механических и электрических величин, найдем что общая масса катушек равна
<img width=«103» height=«52» src=«ref-1_345840449-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Это соответствует рис.4, б
<img width=«342» height=«42» src=«ref-1_345840779-674.coolpic» v:shapes="_x0000_s1244 _x0000_s1245 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1250 _x0000_s1251 _x0000_s1252 _x0000_s1253 _x0000_s1254 _x0000_s1255 _x0000_s1256 _x0000_s1257 _x0000_s1258 _x0000_s1259 _x0000_s1260 _x0000_s1261 _x0000_s1262 _x0000_s1263">
Задача3. Придумайте механическую систему, которая была бы аналогична электрической цепи, состоящей из конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением
R (рис.5). Первоначальный заряд конденсатора равен
qм. Ключ К замыкается в некоторый момент времени принимаемый за начальный.
<img width=«146» height=«102» src=«ref-1_345841453-3278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
Рис.5.
О т в е т. Электрическую цепь, состоящую из емкости и сопротивления, можно представить как предельный случай электрического колебательного контура, в котором индуктивность настолько мала, что ею можно пренебречь.
Поэтому аналогичная механическая система будет представлять собой прикрепленное к пружине (жесткость К) тело с очень малой массой, но с значительным объемом, находящееся в поле действия силы вязкого трения с коэффициентом ß.
Задача4. Придумайте механическую динамическую аналогию электрической цепи, представленной на рис.6. В начальный момент катушка индуктивностью
L и резистор сопротивлением
R отключены от источника постоянного тока с ЭДС<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_345844731-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">.
<img width=«148» height=«102» src=«ref-1_345844946-3197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
Рис.6.
О т в е т. Аналогичная механическая система состоит из тела, находящегося в поле тяжести Земли и расположенного внутри жидкости с коэффициентом вязкости Р. Если отпустить это тело, то оно падает в жидкости под действием силы тяжести FT= mg.
Задача5. Рассчитайте максимальное значение силы тока в цепи, изображенной на рис.7. До замыкания ключа заряд на конденсаторе <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_345848143-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> равен
q, второй конденсатор не заряжен. Воспользуйтесь электромеханической аналогией.
<img width=«148» height=«128» src=«ref-1_345848348-2475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
рис. 7.
Решение.
Здесь происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую или в соответствии с аналогией энергия электрического поля конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки.
<img width=«84» height=«48» src=«ref-1_345850823-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
так как <img width=«84» height=«49» src=«ref-1_345851170-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> и <img width=«91» height=«48» src=«ref-1_345851530-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">
тогда
<img width=«93» height=«55» src=«ref-1_345851868-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">.
Отсюда значение максимальной силы тока равно
<img width=«87» height=«55» src=«ref-1_345852257-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">
Задача 6. Найти максимальную скорость груза на пружине в вязкой среде при действии на него переменной силы
F=10
sin10
t(
H) (рис.8). Масса — груза 0,1 кг, жесткость пружины2 Н/м, вязкость среды1 Н. м/с.
<img width=«137» height=«119» src=«ref-1_345852594-4341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">
Рис.8
Р е ш е н и е. В связи с тем что такой более сложный процесс, какой представлен в условии этой задачи, в школьном курсе физики не изучается, снова обратимся к аналогии. Аналогичная электрическая система выглядит как колебательный контур, содержащий внешний источник переменного тока (рис.9).
<img width=«136» height=«119» src=«ref-1_345856935-3443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">
Рис.9
Из закона Ома для переменного тока (обозначения традиционные) максимальная сила тока
<img width=«248» height=«87» src=«ref-1_345860378-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">
Установим соответствия характеристик механической и электрической систем: f<img width=«28» height=«19» src=«ref-1_345860990-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">U: ß<img width=«28» height=«19» src=«ref-1_345860990-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">R :m<img width=«28» height=«19» src=«ref-1_345860990-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">L:
K<img width=«28» height=«19» src=«ref-1_345860990-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">1/C.
Учитывая аналогичность систем, получаем:
<img width=«21» height=«25» src=«ref-1_345861798-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">=<img width=«191» height=«79» src=«ref-1_345862017-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
При подстановке следующих данных:
F=10Н, <img width=«21» height=«19» src=«ref-1_345862614-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">=10с-1, ß=1 Н•м/с, w=0,1кг, K=2 Н/м окончательно получаем vm<img width=«17» height=«15» src=«ref-1_345862819-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">1,28 м/с.
Задача 7.Источник с ЭДС <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_345844731-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> и нулевым внутренним сопротивлением соединен последовательно с катушкой индуктивности
L и конденсатором С (рис.10). В начальный момент времени конденсатор не заряжен. Найти зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа.
<img width=«135» height=«139» src=«ref-1_345863223-3019.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
рис.10.
Решение. Искать нужную зависимость, используя законы электромагнетизма, довольно сложно и не наглядно, поэтому целесообразно использовать механическую аналогию. На рис.11 приведена аналогичная механическая колебательная система. Аналогом источника с ЭДС может служить поле силы тяжести. При выдергивании подставки из-под прикрепленного к пружине груза начинаются его колебания. Он совершает гармоническое колебание около точки Xm, график которого дан на рис.12. а. Уравнение координаты имеет вид:
xm-x(t)=xm cos
w
o
t,
или
x(t)=xm(1 -
cos
w
o
t).
<img width=«258» height=«200» src=«ref-1_345866242-8541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
Рис.11
<img width=«274» height=«127» src=«ref-1_345874783-7507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">
Рис.12
Аналогичное электрическое колебание (график дан на рис.12, б) описывается следующими уравнениями:
q (t)=qм
(1 –
cos
w
o
t);
qм
=<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_345756097-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"><img width=«20» height=«23» src=«ref-1_345844731-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">С
, q (t)=C<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_345844731-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">
(1 —
cos
w
o
t),
U(t)= <img width=«44» height=«59» src=«ref-1_345882889-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, U(f)=<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_345844731-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
(1 —
cos
w
o
t).
Здесь w
o=<img width=«75» height=«32» src=«ref-1_345883421-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">.
В заключение отметим, что рассмотренные нами аналогии широко используются в научных исследованиях. Интересно, что принцип работы аналого-вычислительной машины основан на «поразительной аналогичности» механического и электрического процессов.
§4.Изучение волновых процессов.
Рассматривая вопроссы излучения и распространения любых волн, следует сформулировать условия, необходимые для образования и излучения волн:
1) наличие источника колебаний в некоторой точке;
2) возможность передачи колебаний от данной точке к соседним (роль среды);
3) наличие достаточной связи источника колебаний с передающей средой.
Рассмотрим следующие волновые процессы: излучения и распространения электромагнитных волн, интерференция света, дифракция света и поляризация света.
1. Излучение и распространение электромагнитных волн.
При изучении вопросов излучения и распространения электромагнитных волн целесообразным аналогом будут акустические волны, факт распространения которых в окружающем пространстве легко устанавливается. Если взять простейший источник акустических волн (камертон без резонансного ящика), то связь его со средой малая и излучение звуковых волн незначительно. Поставив камертон на резонирующий ящик, замечают, что излучение звука значительно усилилось, так как связь со средой стала большей. Если рядом со звучащим камертоном поставить другой камертон, имеющий ту же частоту, то такой камертон возбуждается. Здесь наблюдают явление резонанса. Камертон, имеющий другую частоту собственных колебаний, не возбудится. Излучение камертона возможно только в среде, обладающей определенными физическими свойствами.
Как известно, излучение энергии замкнутым колебательным контуром незначительно, так как электрическое поле в этом случае локализовано между обкладками конденсатора, а магнитное поле — вокруг катушки. Чтобы подчеркнуть это свойство замкнутого колебательного контура, уместно воспользоваться аналогией с колеблющимся камертоном (без резонансного ящика), излучение которого незначительно. Открытый колебательный контур излучает энергию значительно лучше, так как в этом случае магнитное и электрическое поля совмещены и занимают окружающее контур пространство. Чтобы проиллюстрировать данный факт, уместна аналогия с камертоном на резонансном ящике, хорошо излучающем энергию благодаря связи со средой.
Явление резонанса при звуковых процессах является хорошей аналогией для объяснения приема электромагнитных волн. В антенне приемного устройства возникают колебания всевозможных частот, но приемник «выбирает» из всех колебаний только те, на частоту которых он настроен. Это аналогично возбуждению камертона, имеющего ту же частоту, что и излучающий. При излучении электромагнитных волн возникают возмущения в электромагнитном поле, так же как возникают возмущения в упругой среде вокруг камертона. Природа же распространяющихся при этом волн различна.
2.Интерференция света.
Интерференция света представляет собой сложное явление, объяснение которого требует рассмотрения вопроса о наложении волн, об условиях усиления и ослабления колебаний и т. д. Здесь применяют аналогию с поверхностными волнами на воде.
Вначале, возбудив в волновой ванне две волны, наблюдают результат их наложения и объясняют полученную картину(рис.1).
<img width=«445» height=«225» src=«ref-1_345883712-7358.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042">
Рис.1.
В любой точке М на поверхности воды будут складываться колебания, вызванные двумя волнами (от источников O1 и О2). Амплитуды колебаний вызванных в т.М будут отличаться друг от друга, так как волны проходят различные пути D1 и D2.
Но если расстояние lмежду источниками много меньше этих путей (l<<D1и l<<D2), то обе амплитуды можно считать одинаковыми. Результат сложения волн в точке М зависит от разности фаз между ними. Пройдя различные расстояния, волны имеют разность хода ΔD=D2-D1
Если разность хода равна длине волны l, то вторая волна запаздывает по сравнению с первой ровно на один период. Следовательно, в этом случае гребни (впадины) обеих волн совпадают.
Сложение волн в зависимости от разности их хода объясняют на специально вычерченных графиках, показывая, как складываются колебания при условии совпадения фаз и в случае когда колебания происходят в противофазе.
Зависимость от времени смещения х1 и х2 вызванных двумя волнами при DD=l. Разность фаз колебаний равна нулю, так как период синуса равен 2p(рис.2).
<img width=«445» height=«236» src=«ref-1_345891070-8937.coolpic» v:shapes="_x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064">
Рис. 2
В результате сложения этих колебаний возникает результирующее колебание с удвоенной амплитудой. Колебания результирующего смещения xпоказаны пунктиром. То же самое будет происходить, если на отрезке DDукладывается не одна, а любое целое число длин волн:
DD=kl, k=0, 1, 2…. – условие максимума.
Пусть теперь на отрезке DDукладывается половина длины волны (рис.3).
<img width=«447» height=«217» src=«ref-1_345900007-7041.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086">
Рис.3.
Вторая половина отстает от первой на половину периода. Разность фаз оказывается равной p, то есть колебания будут происходить в противофазе. В результате сложения этих колебаний амплитуда результирующего колебания равна нулю, то есть в рассматриваемой точке колебаний нет. Тоже самое происходит если на отрезке укладывается любое нечетное число полуволн.
DD=( 2k+1 )l/2, k=0,1,2... — условие минимума.
Аналогично интерференции поверхностных водяных волн происходит и интерференция световых волн, но осуществить это явление значительно сложнее. Необходимо учитывать, что условия излучения и природа этих волн различны, а общее между ними только в периодичности процессов. Перед демонстрацией опытов по интерференции света следует рассмотреть вопрос о когерентных источниках волн. Когерентность поверхностных волн на воде легко осуществляют в волновой ванне с помощью двух связанных между собой вибраторов.
Два обычных источника света не являются когерентными. Учащимся необходимо пояснить, что для получения устойчивой картины интерференции света надо использовать специальные установки, в которых заставляют интерферировать два пучка одной и той же волны, излучаемые одним источником, но идущие к точке наблюдения различными путями.
После этого демонстрируют интерференцию света и по аналогии объясняют интерференционную картину. Проводя аналогию между световыми и поверхностными водяными волнами, показывают сходство и различие явлений различной природы.
3.Дифракция света.
Явление дифракции света рассматривают по аналогии с дифракцией поверхностных волн на воде. Для этой цели в волновой ванне показывают явление дифракции волн (отклонение волн от прямолинейного распространения), ставя на пути волн препятствия, размеры которых соизмеримы с длиной волны. Получают дифракцию на препятствии и на щели.
Когда явление дифракции с помощью поверхностных водяных волн разъяснено, переходят к дифракции света. Но перед демонстрацией соответствующих опытов останавливаются на различии дифракции света и дифракции длинных поверхностных волн. Так как поверхностные водяные волны иллюстрируют огибание волнами препятствий, без последующего распределения максимумов и минимумов, то есть поверхностные волны подчиняются принципу Гюйгенса – Френеля. В случае световых волн имеет место не только огибание препятствий, но и сложение волн. Поэтому, наблюдая дифракцию света, видят проявление максимумов и минимумов освещенности, что является результатом интерференции (наложении) волн.
При рассмотрении дифракции света можно использовать таблицу 3, в которой сопоставляются дифракционные картины от освещенной щели и в волновой ванне при различной ширине щели.
Таблица3.
4.Поляризация света.
Как известно, электромагнитные волны поперечны. Так как свет имеет электромагнитную природу, то световые волны также поперечны. Чтобы разобраться в опытах по поляризации света необходимо уяснить понятие плоско поляризованного света и действие поляризатора, и анализатора.
Плоскополяризованными волнами называют поперечные волны, колебания в которых происходят в одной плоскости вдоль прямой, перпендикулярной направлению распространения.
Такими являются волны на шнуре, поэтому свойства плоскополяризованных волн можно наглядно объяснить.
Для этой цели берут щель между двумя досками. Если эту щель расположить вертикально, то волны бегущие по шнуру, раскачиваемому в вертикальной плоскости, свободно пройдут через щель (рисю.4, а). Если же щель повернуть на 90, то волны через щель не пройдут и будут полностью погашены (рис.4, б).
<img width=«393» height=«182» src=«ref-1_345922840-3058.coolpic» v:shapes="_x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095">
Рис.4 а) б)
Естественный свет не поляризован, но его поляризацию можно осуществить с помощью приборов – поляризаторов, действие которых аналогично действию щели в опыте со шнуром. В поляризатор пропускают лишь лучи с определенной плоскостью колебаний светового вектора Е. Обнаруживают поляризацию света с помощью анализаторов, действие которых аналогично действию указанной щели, плоскость которых параллельна щели.
Применение этой аналогии делает явление поляризации света понятным и доступным.
--PAGE_BREAK--Формирование и развитие у учащихся модельных представлений атома как структурной единицы вещества имеет важное научно – познавательное и мировоззренческое значение. В курсе физики 7 класса учащиеся узнают об атомах как о мельчайших частицах вещества, из которых состоят более крупные образования – молекулы. В курсе электричества 8 класса картина меняется: модель атома становится доминирующей. Здесь у учащихся формируется представление об атоме как о сложной динамической системе, состоящей из сконцентрированной в небольшом объеме положительной части – ядра и электронов, движущихся относительно ядра и несущих отрицательный заряд. Планетарную модель атома доказывают опытом Резерфорда по рассеянию α – частиц металлическими пластинками. Известно несколько моделей этого опыта. Например, при описании опыта Резерфорда использована аналогия с зондированием кипы сена с помощью пуль. При этом по траектории пуль можно определить, где спрятаны куски металла. При рассказе о ядерной модели атома применяют аналогию с солнечной системой. Здесь важны образные сравнения – аналогии: масса ядра атома в несколько тысяч раз больше массы электрона (например, масса ядра атома водорода больше массы электрона в 2000 раз), так же как и масса Солнца больше массы отдельной планеты в несколько сотен тысяч раз (например, больше массы Земли в 333000 раз). Другое сравнение: диаметр ядра примерно в 10000 раз меньше диаметра атома; аналогично, диаметр Солнца (13000 км) во много миллионов раз меньше размеров солнечной системы.
Эти сравнения помогают учащимся создать представление о масштабах ядерной модели атома. Но движение электронов относительно ядра более сложнее, чем орбитальное движение планет и оно подчиняется другим законам. Ядерную модель атома затем используют для объяснения электризации тел, явления электропроводности, при изучении электрического тока в металлах и электролитах. О дальнейшем развитии планетарной модели атома рассказывают после изучения фотоэффекта.
Для объяснения закономерностей фотоэффекта вводят представление о дискретности светового излучения, а также понятие о фотоне как элементарной частице света с энергией Е=hν. Отсюда возникает вопрос: является ли дискретность энергетических состояний свойством, характерным лишь для излучающих твердых тел, или же эта дискретность присуща любым атомным системам?
Подобные рассуждения привели в 1913 году И. Бора к предположению о неприменимости максвелловской электродинамики к электронам, движущимся в атомах. В основу своей теории Н. Бор положил следующие постулаты:
1) в атоме происходят движения электронов по некоторым стационарным круговым орбитам без излучения;
2) стационарными будут те орбиты, для которых момент количества движения электрона mvRравен целому кратному величины h/2π, то есть
mvnRn=nh/2π, где n=1, 2, 3….
3) излучение и поглощение света атомами происходит при переходе электронов с одних стационарных орбит на другие.
Планетарная модель атома в теории Бора “модернизирована”, то есть электроны могут перескакивать с орбиты на орбиту, когда атом переходит из одного стационарного состояния в другое.
Так, при изложении вопроса об излучении света атомом существует аналогия с реальным макропроцессом—вылетом стрелы из лука.
Оба процесса возможны только в том случае, если участвующие в них объекты (атом, лук) находятся в возбужденном состоянии (в последнем случае под «возбуждением» понимается натяжение тетивы). Тетива и атом в конечном счете возвращаются в невозбужденное состояние (ему соответствует наименьшее из возможных значение энергии); при этом соблюдается закон сохранения энергии (потенциальная энергия упруго деформированной тетивы переходит в кинетическую энергию стрелы, а энергия возбуждения атома«уносится» фотоном: Е2-Е1=hν.
Однако между этими явлениями есть различие:
1) при натяжении тетивы ей может быть сообщена любая энергия, т. е. ее энергия может изменяться непрерывно; для возбуждения атома ему нужно сообщить определенную порцию (квант) энергии, соответствующую разности уровней энергии, между которыми осуществляется «переход» электрона в рамках модели Резерфорда—Бора;
2) возвращаясь в «невозбужденное» состояние, тетива «проходит» все промежуточные состояния (значения энергии),, таких состояний, очевидно, бесчисленное множество; электрон же в атоме переходит из любого возбужденного состояния в нормальное либо одним, либо несколькими последовательными скачками, минуя промежуточные значения энергии;
3) стрела, символизирующая световой квант, существовала до возбуждения тетивы и до вылета покоилась относительно лука, при вылете она постепенно набирала скорость от нуля до какого-то максимального значения; фотон “рождается” лишь благодаря переходу атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т.е. переходу электрона на более низкую орбиту; покоящегося же (относительно любой системы отчета) фотон не существует: фотон сразу приобретает скорость света.
Постулаты Бора дают возможность вычислить полную энергию атома исходя из уравнений:
mvR=nh/2π (1)
<img width=«79» height=«44» src=«ref-1_346081593-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> (2)
<img width=«72» height=«44» src=«ref-1_346081945-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> <img width=«72» height=«44» src=«ref-1_346081945-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> (3)
V=nh/2πmR; n2h2/4π2mR3=Ze2/R2
R=n2h2/Ze24π2m
E=-<img width=«88» height=«44» src=«ref-1_346082557-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> (4) гдеn =1, 2, 3…..
Полную энергию атома при определенном стационарном состояии называют энергетическим уровнем. Вычисляя значения E при n=1, E при n=2 и т. д., получаем ряд значений энергии:
Е1=-13,53 эВ; Е2=-3,4 эВ; Е3=-1,5 эВ; Е4=-0,8 эВ и т.п.
<img width=«346» height=«284» src=«ref-1_346082926-2343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142">
При n=∞ Е∞=0.
После вычислений строим график (рис.5.):
Рис.5.
Ось энергии в этом графике берут вертикальной, за начало отсчета выбирают энергию атома, когда его электрон удален в бесконечность – это нулевой уровень энергии атома. Так как энергия атома орбитальна, то все последующие значения энергии будут ниже нулевого уровня. Минимум энергии (E1=-13,53эВ) атома соответствует невозбужденному его состоянию, когда электрон находится на наиболее близкой к ядру орбите. Выбирают масштаб таким образом, чтобы потом легко было разделить отрезок, соответствующий расстоянию между уровнями E∞ и E1 на 4, 9, 16 и т. д., равных частей. Построенное таким образом изображение значений энергии атома в различных его состояниях называют энергетической моделью атома.
Энергетическая модель атома дает ряд объяснений:
а) объяснение происхождения линейчатых спектров.
Линейчатый спектр испускания объясняют переходом атома, находящегося в возбужденном состоянии, с высшего энергетического уровня на более низкий. Например, при переходе со второго энергетического уровня на первый энергия атома уменьшается на Е2-Е1=1,77 эВ; при этом испускается фотон света с длиной волны, равной
λ=<img width=«57» height=«45» src=«ref-1_346085269-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">
Линии поглощения в спектре атома образуются в результате перехода атома с энергетического уровня, соответствующего невозбужденному состоянию атома, на более низкий уровень за счет энергии получаемой из вне. Так как атом обладает вполне определенными, дискретными значениями энергии, то и длины волн излучаемого или поглощаемого света вполне определены. Чем больше разность энергий уровня атома, тем меньшей длины волны испускается свет.
б) Объяснение люминесценции.
<img width=«284» height=«305» src=«ref-1_346085556-2972.coolpic» v:shapes="_x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115 _x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118">Механизм флюоресценции показан на рис.6.
Рис.6.
Фотон с энергией hν15 поглощается молекулой, переводя ее из состояния с энергией Е в возбужденное состояние Е1 . Обратный переход может идти прямо (пунктирная линия) или в виде каскадного процесса, когда испускаются различные фотоны с энергиями hν54 , hν42 , hν21 , причем энергия поглощенного фотона (hν0) может оказаться меньше суммарной энергии испускаемых фотонов (hν). Часть энергии фотона (А) передается соседним молекулам и затрачивается на различные внутримолекулярные процессы. Поэтому справедливо равенство:
hν = hν0–A
Откуда ν < ν 0, λ > λ0, то есть длина волны испускаемого света при люминесценции меньше длины волны падающего света.
Фосфоресценцию наблюдают в кристаллах, где центрами свечения являются атомы, ионы или группы их. Электрон, возбужденный поглощаемым светом, нередко отделяется от центра свечения. При возвращении электрона на прежнее место свечение возобновляется. Так как скорость перемещения электрона в кристалле мала, то свечение может продолжаться длительное время.
Поэтому при изучении энергетических диаграмм полезно сопоставить их с планетарной моделью Резерфорда – Бора, обратив внимание на важные моменты:
1. В энергетической модели орбит нет, указываются лишь энергии атомов в определенных состояниях.
2. В соответствии с этим речь идет не о перескоках с орбиты на орбиту, а о переходе атомов из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (при излучении) или же наоборот (при возбуждении).
3. Расстояние между орбитами имеют геометрический смысл, а между уровнями – энергетический; поэтому говорить о скачках электрона с уровня на уровень недопустимо.
Таким образом данная аналогия помогает учащимся лучше разобраться и понять постулаты Бора и энергетическую модель атома.
ГЛАВА 3. Изучение аналогий на факультативах,
кружках и спецкурсах.
§ 8. Волчок и магнит.
Рассмотрим пример, который заключается в запуске волчка. При запуске волчка, мы любуемся его кружением, удивляемся его устойчивости и нам хочется разгадать его тайну. Почему неподвижный волчок не может стоять на острие своей оси, а приведи его в быстрое движение – и, словно перед тобой совсем другой предмет, он стойко держится, вращаясь вокруг вертикальной оси. Мало того, волчок упорно сопротивляется попыткам упорно вывести его из этого положения. Если попытаться толкнуть его, вывести волчок из вертикального положения, опрокинуть, но волчок и после толчка продолжает кружиться, описывая своей осью коническую поверхность (рис.1).
Рис.1.
Если рассмотреть опыт с вращающейся цепью и заставить ее стоять, как твердый обруч, покажется смешной фантазией, но сообщите цепи быстрое вращение, надев ее на вращающийся шкив, и затем сдвиньте в сторону, дайте ей соскользнуть на стол, и она «побежит» по столу так же, как если бы была твердым кольцом.
Механика дает объяснение этому удивительному явлению. Для этого надо знать закон сохранения момента импульса. Для вращательного движения справедлив закон сохранения момента импульса:L = Iw=const. где L
—момент импульса; I — момент инерции, характеризующий инерцию вращательного движения, w—угловая скорость. Только под действием внешних сил, например трения, катящаяся цепочка может уменьшить скорость вращения и тогда, потеряв форму, упадет на стол. То же относится и к волчку.
Мы познакомились с одним свойством волчка—сохранением направления оси волчка. Обратимся ко второму важному его свойству. Лучше всего оно обнаруживается в следующем опыте (рис.2).
Рис.2.
Сплошная латунная шайба К. с утолщенным ободом надета на стальную ось А, вокруг которой она может вращаться внутри латунного кольца. Если намотать на ось шнурок и быстро потянуть его, то шайба придет в быстрое вращение. Прилив Dна кольце Rимеет снизу углубление, которым весь волчок может быть надет на стальное острие штатива. Если при этом не поддерживать прибор рукой, то он под действием силы тяжести опрокинется и упадет. Если же, прежде чем убрать руку, привести прибор во вращение, то ось волчка с его кольцами как бы повиснет в горизонтальном положении, причем вся система будет поворачиваться вокруг вертикальной оси штатива. Это вращение получило название прецессии. Прецессия возникла как результат действия силы тяжести и стремления вращающегося волчка сохранять направление оси.
В1852 г. французский физик Фуко обнаружил, что горизонтальная ось вращающегося волчка устанавливается в направлении север— юг, подобно магнитной стрелке компаса. С той разницей, что ось волчка устанавливается в плоскости географического меридиана, а стрелка компаса в плоскости магнитного меридиана, который, как известно, не совпадает с географическим.
Объясним это удивительное свойство волчка. Для простоты представим, что наш гироскоп расположен на экваторе в точке А (рис.3), причем его ось ориентирована с востока на запад. Так как Земля вращается, то через некоторое время точка А перейдет из положения1 в положение2. Ось гироскопа, как мы знаем, стремится сохранить прежнее направление, но действие силы тяжести приводит ее снова в горизонтальное положение. Совместное действие силы тяжести и вращения вызывает прецессию. Ось поворачивается до тех пор, пока не установится параллельно земной оси, в плоскости меридиана с севера на юг. После этого прецессия прекращается, так как при продолжающемся вращении Земли ось гироскопа будет перемещаться параллельно самой себе, а прецессия наблюдается при попытке изменить направление оси. Все вращающиеся тела, например маховые колеса двигателей, стремятся повернуть свои оси по направлению к Полярной звезде.
<img width=«178» height=«254» src=«ref-1_346088528-1869.coolpic» v:shapes="_x0000_s1323 _x0000_s1326 _x0000_s1327">
<img width=«2» height=«230» src=«ref-1_346090397-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1318"><img width=«218» height=«206» src=«ref-1_346090564-4185.coolpic» v:shapes="_x0000_s1306"><img width=«242» height=«230» src=«ref-1_346094749-4634.coolpic» v:shapes="_x0000_s1305"> A 1
<img width=«218» height=«182» src=«ref-1_346099383-10437.coolpic» v:shapes="_x0000_s1298 _x0000_s1308 _x0000_s1309 _x0000_s1310 _x0000_s1311 _x0000_s1312 _x0000_s1313 _x0000_s1320 _x0000_s1321 _x0000_s1322">
<img width=«78» height=«66» src=«ref-1_346109820-1529.coolpic» alt=«Овал: N» v:shapes="_x0000_s1314">
<img width=«2» height=«26» src=«ref-1_346111349-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1324"><img width=«302» height=«2» src=«ref-1_346111503-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1319"> экватор
<img width=«30» height=«31» src=«ref-1_346111670-313.coolpic» v:shapes="_x0000_s1325"> 2
Рис.3.
Тысячелетиями люди удивлялись чудесным свойствам магнита, но не могли разгадать его тайну, так как не знали законов волчка и строение атома.
Первое научное сочинение о магнетизме принадлежит английскому врачу Гильберту, написавшему в1600 г. книгу «О магните, магнитных телах и большом магните—Земле». Здесь впервые уточняется понятие полюсов магнита, а также делается попытка понять строение магнита: если разделить магнит на части, то получится множество маленьких магнитов. Следовательно, магнит состоит из множества маленьких магнитиков.
Только в1785 г. французский военный инженер Кулон, используя изобретенныеим крутильные весы, исследовал взаимодействие магнитных полюсов и доказал, что оно подчинено закону обратных квадратов, расстояния.
Однако природа магнита продолжала оставаться таинственной. Только аналогия притяжения и отталкивания магнитных полюсов и электрических зарядов наводила на мысль о родстве этих двух явлений. Лишь после обнаружения Эрстедом на опыте действия электрического тока на магнитную стрелку и уточнения Ампером законов этого, действия мысль о взаимосвязи электричества и магнетизма была подтверждена. Ампер выдвинул теорию, по которой магнит состоит из маленьких, элементарных круговых токов, но круговой ток. как известно, обладает магнитными полюсами (рис.4). Фарадей и Максвелл разработали учение о магнитном поле.
<img width=«127» height=«233» src=«ref-1_346111983-1494.coolpic» v:shapes="_x0000_s1340"> N
<img width=«55» height=«100» src=«ref-1_346113477-703.coolpic» v:shapes="_x0000_s1333 _x0000_s1337 _x0000_s1338 _x0000_s1339">
S
Рис.4.
Еще Фарадей установил, что все вещества можно разделить. на две группы— парамагнитных и диамагнитных веществ и что нет материалов, безразличных к магнетизму. Правда, магнитные свойства большинства тел очень слабо выражены и дляих обнаружения приходится воздействовать очень сильными магнитными полями на маленькие и легкие образцы исследуемых материалов. Подвешивая стержень из висмута между полюсами сильного электромагнита, можно увидеть, что стержень устанавливается перпендикулярно направлению линий индукции магнитного поля, тогда как стержень из алюминия располагается параллельно этим линиям. Висмут диамагнитен, алюминий парамагнитен (в переводе с греческого пара— значит вдоль, диа— поперек, через).
Лишь в наши дни явления диа- и парамагнетизма получили свое объяснение в электронной теории. Начнем с диамагнетизма. Его происхождение связано с движением электронов вокруг ядра атома по орбите (назовем это движение орбитальным). Электрон, обращающийся вокруг ядра, можно уподобить волчку, и подобно тому как поле тяготения вызывает прецессию волчка, противодействующую силе тяжести, так внешнее магнитное поле вызывает прецессию вращающегося вокруг ядра электрона, противодействующую магнитному полю. Так как в любом атоме любого вещества происходит орбитальное движение электронов, то диамагнетизм свойствен всем видам вещества. Но диамагнитные свойства очень слабы и во многих случаях они перекрываются парамагнитными свойствами. От чего же зависят парамагнитные свойства? Дело в том, что, кроме орбитального движения, электронам присуще еще и вращательное движение вокруг их собственной оси. Для наглядности принято сравнивать движение электрона вокруг собственной оси с движением Земли вокруг оси (при одновременном ее движении по орбите вокруг Солнца). Таким образом, электрон уподобляется волчку, и его движение получило название «спин» (от английского глагола tospin— запускать волчок). Надо при этом иметь в виду, что это всего лишь полезный, наглядный образ. Современная физика отказалась от представления об электроне, как о каком-то вращающемся шарике, однако спин все-таки существует, и мы будем пользоваться этим наглядным образом электрона-волчка, обладающего магнитными свойствами.
В зависимости от направления вращения условно различают положительный спин и отрицательный. Два спина с противоположными знаками друг друга «нейтрализуют» (рис.5).
<img width=«26» height=«87» src=«ref-1_346114180-559.coolpic» v:shapes="_x0000_s1346"> S
<img width=«183» height=«171» src=«ref-1_346114739-3361.coolpic» v:shapes="_x0000_s1345">
<img width=«14» height=«39» src=«ref-1_346118100-306.coolpic» v:shapes="_x0000_s1347"><img width=«38» height=«63» src=«ref-1_346118406-479.coolpic» v:shapes="_x0000_s1350"><img width=«26» height=«51» src=«ref-1_346118885-357.coolpic» v:shapes="_x0000_s1348"><img width=«183» height=«171» src=«ref-1_346119242-3271.coolpic» v:shapes="_x0000_s1343"> N
<img width=«183» height=«171» src=«ref-1_346122513-3397.coolpic» v:shapes="_x0000_s1344"> N N
<img width=«14» height=«26» src=«ref-1_346125910-253.coolpic» v:shapes="_x0000_s1349"> <img width=«27» height=«39» src=«ref-1_346126163-324.coolpic» v:shapes="_x0000_s1351">
S S
Рис.5.
Если каждому электрону с положительным спином соответствует в атоме электрон с отрицательным спином, то магнитные свойства, зависящие от спинов, нейтрализуются и остается лишь магнетизм, зависящий от орбитального движения электронов. Вещества из таких атомов диамагнитны.
Но во многих случаях числа положительных и отрицательных спинов не уравновешены, тогда атом обладает результирующим спином и соответствующим магнитным моментом. Рисунок6 иллюстрирует схему атома железа.
<img width=«689» height=«630» src=«ref-1_346126487-39846.coolpic» v:shapes="_x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1355 _x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1362 _x0000_s1363 _x0000_s1364 _x0000_s1365 _x0000_s1366 _x0000_s1367 _x0000_s1368 _x0000_s1369 _x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374 _x0000_s1375 _x0000_s1376 _x0000_s1377 _x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1382 _x0000_s1383 _x0000_s1384 _x0000_s1385"> <img width=«50» height=«50» src=«ref-1_346166333-770.coolpic» v:shapes="_x0000_s1381">
— электрон со спином +
<img width=«50» height=«50» src=«ref-1_346167103-1014.coolpic» v:shapes="_x0000_s1386">
— электрон со спином -
Рис.6.
Электроны на оболочках К, L
,иN спарены (эти оболочки заселены парами электронов с противоположно ориентированными спинами), тогда как на оболочке М имеются непарные электроны, дающие нескомпонсированный спин— спин атома. То же, только в более слабой степени, можно сказать и о любом парамагнетике.
<img width=«207» height=«123» src=«ref-1_346168117-3038.coolpic» v:shapes="_x0000_s1387 _x0000_s1396 _x0000_s1397 _x0000_s1399 _x0000_s1400 _x0000_s1401 _x0000_s1404 _x0000_s1405 _x0000_s1434 _x0000_s1435 _x0000_s1436 _x0000_s1437 _x0000_s1438 _x0000_s1439 _x0000_s1440"> <img width=«328» height=«123» src=«ref-1_346171155-3463.coolpic» v:shapes="_x0000_s1388 _x0000_s1407 _x0000_s1413 _x0000_s1415 _x0000_s1416 _x0000_s1417 _x0000_s1418 _x0000_s1420 _x0000_s1421 _x0000_s1422 _x0000_s1423 _x0000_s1424 _x0000_s1425 _x0000_s1426 _x0000_s1427 _x0000_s1428 _x0000_s1429 _x0000_s1430 _x0000_s1431 _x0000_s1432 _x0000_s1433">
Рис.7.
Тепловое движение приводит спины атомов в беспорядочное расположение, и парамагнитные свойства вещества обычно не проявляются (рис.7 слева). Но если поместить такое вещество во внешнее магнитное поле, то спины атомов в результате прецессии ориентируются приблизительно вдоль линий индукции внешнего магнитного поля (как гироскоп вдоль меридиана) и вещество проявляет свойства парамагнетика (рис.7 справа).
Особую группу составляет небольшой класс веществ— ферромагнетики, названные по их главному представителю— железу. По современной теории кристалл железа состоит из отдельных микроскопических областей (доменов), в каждой из которых спины атомов уже расположены (без участия внешнего поля) в направлении кристаллических осей (вспомните анизотропию кристаллов). В ненамагниченном железе домены ориентированы так, что суммарное магнитное поле продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по педагогике
Реферат по педагогике
Культурная вариативность регуляторов социального поведения
2 Сентября 2013
Реферат по педагогике
Педагогическое и правовое обеспечение эмоционального благополучия детей дошкольного возраста
2 Сентября 2013
Реферат по педагогике
Математическое развитие ребенка в системе дошкольного и начального школьного образования
2 Сентября 2013
Реферат по педагогике
Детская психология 4
24 Июня 2015