Курсовая работа: Гуманитаризация обучения математике

--PAGE_BREAK--

2.3Методика изучения дробных чисел

В практике преподавания основным методом изучения дробных чисел являются поясняющие описания, которые опираются на жизненный опыт и знания учащихся. Поясняющие описания не заменяют определений, понятий, а лишь показывают целесообразность их введения.

Введение дробных чисел в школьном курсе связывается с необходимостью более точного измерения величин, с делением чисел. В связи с этим целесообразно познакомить учащихся с возникновением дробных чисел в процессе практической деятельности человека, а именно в процессе измерения. Краткая историческая справка поможет учащимся лучше овладеть данным материалом. Содержание её может быть примерно следующим.

Измерение, так же как и счет, имело место у всех народов с самых древних времён; измерение было непосредственно связано со счетом. Потребность в более точном измерении явилась причиной того, что единицы мер стали раздроблять на две, на три и более частей. Этим более мелким мерам давали особые наименования, и в дальнейшем величины измерялись уже этими более мелкими единицами, однородными с ними. Так возникли первые конкретные дроби. Отвлеченных дробей в это время еще не знали.

Длинен был путь перенесения названия какой-либо части одной меры на такую же часть другой меры, это был путь создания абстрактного понятия дроби.

Так, например, в России была земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. Дроби первоначально в русских рукописях назывались долями, затем ломаными числами. При записи числа использовалась горизонтальная черта.

Довольно долгим был путь и к введению десятичных дробей. В древности некоторые народы пользовались шестидесятеричной системой счисления и дроби записывались в шестидесятеричной системе так же, как в настоящее время записывают наши десятичные дроби. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями.

В 16 – 17 вв. в связи с развитием общества, с развитием науки и техники возникла необходимость облегчить громоздкие вычисления. Внимание математиков было обращено к десятичным дробям, к десятичной системе мер. В России учение о десятичных дробях впервые было изложено в «Арифметике» Магницкого, где были приведены и десятичные меры длины и площади. В этой же работе излагается и учение о шестидесятеричных дробях (отголосок вавилонской шестидесятеричной системы счисления).

Учащимся нужно также показать, что дроби применяются не только в математике, но и, например, в музыке.

Все знают, что Пифагор был учёным и, в частности, автором знаменитой теоремы. А то, что он был еще и блестящим музыкантом, известно не так широко. Сочетание этих дарований позволило ему первым догадаться о существовании природного звукоряда. Надо было ещё доказать это. Пифагор построил для своих экспериментов полуинструмент-полуприбор — «монохорд». Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы удобнее было зрительно делить струну на части. Множество опытов проделал Пифагор с монохордом и, в конце концов, описал математически поведение звучащей струны. Работы Пифагора легли в основу науки, которую мы называем сейчас музыкальной акустикой.

Оказывается, для музыки семь звуков внутри октавы такая же естественная вещь, как десять пальцев на руках в арифметике. Уже тетива самого первого лука, колеблясь после выстрела, давала готовым тот набор музыкальных звуков, которыми мы почти без изменения пользуемся до сих пор.

С точки зрения физики тетива и струна — одно и то же. Да и сделал человек струну, обратив внимание на свойства тетивы. Звучащая струна колеблется не только целиком, но одновременно и половинками, третями, четвертями и т.д. Подойдём теперь к этому явлению с арифметической стороны. Половинки колеблются вдвое чаще, чем целая струна, трети — втрое, четверти — вчетверо. Словом, во сколько раз меньше колеблющаяся часть струны, во столько же раз больше частота её колебаний. Допустим, вся струна колеблется с частотой 24 герца. Высчитывая колебания долей вплоть до шестнадцатых, мы получим ряд чисел, показанных в таблице. Эта последовательность частот так и называется — натуральный, т.е. природный, звукоряд.

1

<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_347020052-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">

<img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020161-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">

<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_347020270-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">

<img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020381-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_347020490-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">

<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_347020601-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">

<img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020709-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

<img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020822-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347020933-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

<img width=«20» height=«41» src=«ref-1_347021061-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347021183-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347021309-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347021435-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347021563-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347021688-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

24

48

72

96

120

144

168

192

216

240

264

288

321

336

360

384



Согласно программе и учебнику по математике формирование понятий дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величины на несколько равных частей.

Учащимся предлагается разделить на равные части знакомые предметы, такие, как арбуз, дыня, пирог и др., и выделить одну из частей, одну из долей. Такие же по характеру упражнения выполняют учащиеся с использованием геометрического материала: деление отрезка, круга, квадрата на равные части, на равные доли и взятие одной такой части, одной доли. От выделения одной части и взятию нескольких таких частей.

Учащимся сообщается, что для выражения одной или нескольких долей предмета нужны новые числа, а именно дроби. Далее приводятся примеры обыкновенных дробей и даётся форма записи обыкновенной дроби, проводится обучение чтению. Учащиеся должны помнить: числитель дроби —  количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.).

Например, <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020381-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> — одна пятая; <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_347021925-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> — две шестых; <img width=«21» height=«41» src=«ref-1_347022037-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> — семь десятых;

<img width=«29» height=«41» src=«ref-1_347022164-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> — восемьдесят три сто пятьдесят вторых. В процессе работы над закреплением понятия дроби необходимо познакомить учащихся с происхождением слова «дробь», ввести термины «числитель», «знаменатель». Это можно сделать следующим образом.

В начале урока учащимся можно предложить три ребуса:

  <img width=«411» height=«188» src=«ref-1_347022320-7559.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

  <img width=«398» height=«143» src=«ref-1_347029879-10592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

  <img width=«451» height=«218» src=«ref-1_347040471-10765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">

После их разгадывания можно сообщить им следующие исторические сведения.

С древних времён людям приходилось не только считать предметы, но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары.

Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

В русском языке слово дробь появилось в VIIIвеке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в VIIвеке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Современное обозначение дробей берет свое начало в Дровней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII-XIVвеках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта; например, числа <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_347020381-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">, <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_347051345-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> записывались так: <img width=«12» height=«45» src=«ref-1_347051474-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">, <img width=«13» height=«71» src=«ref-1_347051576-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около трехсот лет назад. Первым европейским ученым, который  стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202 г. он ввел слово «дробь». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIIIвеке Максим Плануд — греческий монах, ученый-математик.

Десятичные дроби вводятся в связи с рассмотрением позиционной системы. Десятичная дробь появляется как частный случай обыкновенной дроби, как способ записи дробей со знаменателем 10ⁿ (1/10, 3/1000 и др.), второе условие относится к форме записи (0,1; 0,003 и др.).

Мотивацию их введения можно связать с тем, что в науке и промышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используются гораздо чаще, чем обыкновенные.

Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый средневековья Аль-Каши Джемшид ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XVвека.

Записывал Аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.

Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.

Например, число 24,56 выглядело так 24€56‚или <img width=«24» height=«28» src=«ref-1_347051692-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"><img width=«23» height=«29» src=«ref-1_347051810-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> — вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3,…, помечалось положение остальных знаков.

Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVIIвека.

В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкийв 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

При изучении действий с дробями огромный гуманитарный потенциал кроется в содержании упражнений, которые можно использовать на уроках:

- связанные с литературой:

Задача 1
. Три неразлучных друга Винни-Пух, Кролик и Пятачок решили узнать свой вес. Но шкала весов до 20 килограммов была повреждена и показания по ней прочитать не представлялось возможным. Поэтому Винни-Пух взвесился сначала с Кроликом: получилось 22,4 кг; затем с Пятачком, получилось 23,5 кг; а затем они взвесились все вместе получилось 26,7 кг. Какова масса каждого из них в отдельности?

Древнеиндийская задача.

Есть кадамба-цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И  на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Её трижды сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Все летала то взад, то вперёд и везде

Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Ответ: 15 пчёл

Задание 3
. Отгадай пословицу

Выполните действия:






--PAGE_BREAK--