Курсовая работа: Графические работы на уроках стереометрии в средней школе

--PAGE_BREAK--    продолжение
--PAGE_BREAK--На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат визуального мышления, сочетающего в себе взаимосвязанные пространственный и логический компоненты мышления.
Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.
1.2. Особенности пространственного образа Содержанием пространственного мышления является оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве на основе различных графических изображений, что связано с необходимостью «перекодирования» образов, создаваемых на разной наглядной основе.
Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции.
Пространственные свойства и отношения выявляются как путем восприятия реальных объектов, так и их заменителей, причем графическое изображение реального объекта может значительно расходиться с обозначаемым объектом, создавая специфические сложности для возникновения на этой основе адекватных пространственных образов.
Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов — их носителей, но наиболее отчет­ливо они выступают в геометрических объектах (объемных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.
Предметную очерченность любого объекта создает его контур, что позволяет отличать один предмет от другого, сравнивать их между собой путем применения общественно выработанных сенсорных эталонов.
Пространственные свойства характеризуют не только внешний вид (конфигурацию) предмета, но и его структуру (строение), что во многом определяет функциональную значимость этого предмета (его назначение, область применения). В ряду других свойств (цвет, масса, фактура поверхности и т. п.) пространственные свойства занимают ведущее место в характеристике предмета. Опираясь на эти свойства, человек распознает различные предметы, классифицирует их, широко использует геометрические знания в различных видах как теоретической, так и практической деятельности.
Положение объекта по отношению к другим объектам определяется его размещенностью в пространстве. Определить его положение — это и значит указать его место в совокупности мест, занимаемых другими, окружающими его объектами. Пространственные соотношения характеризуют не столько сам объект, сколько его положение в системе других объектов (если объект сложный по структуре, то внутри этой структуры устанавливаются пространственные соотношения его частей, части и целого). Пространственные соотношения нередко имеют сложную структуру, оперирование ими опосредствуется специальными знаниями и умениями. Особенности пространственного образа определяются не только его содержанием и условиями возникновения. Как уже отмечалось, важной характеристикой пространственного мышления является перекодирование образов, возникающих на различной наглядной основе. В ходе усвоения знаний в качестве наглядной основы может выступать и реальный (конкретный)  предмет, и теоретическая модель, воспроизводящая его строение (конструкцию), происходящие в нем, скрытые от непосредственного наблюдения процессы и графическое изображение отдельного объекта или целой совокупности объектов.
Условные графические изображения способствуют передаче более скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Освобожденные от конкретных «телесных» особенностей объекта, они передают главным образом конструкцию (строение) объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное положение его отдельных частей.
Условные графические изображения объектов дают возможность выявить скрытые пространственные связи и отношения, как бы перейти от явления к сущности.
Пространственные образы, создаваемые на различной графической основе, являются сложными по своей природе. В них фиксируются пространственные зависимости, присущие как отдельным предметам, так и целому классу предметов, имеющих общие геометрические конструктивно-технические особенности.
Геометрический чертеж может выступать как
1.        специальный предмет изучения;
2.        просто наглядная опора для отвлеченного хода мысли, своеобразный образ-схема;
3.        условие для воспроизведения по нему различных наглядных образов конкретного объекта.
Во всех рассмотренных случаях происходит перекодирование образов, различающихся содержанием и уровнем обобщенности пространственных свойств и отношений. Все это указывает на то, что использование в учебных целях различной наглядности, на основе которой создаются пространственные образы и осуществляется оперирование ими, требует анализа ее психологического содержания. К сожалению, в школе учебная наглядность классифицируется лишь по ее предметному (графическому) содержанию и часто используется только в качестве иллюстративного материала, ее функции в развитии пространственного мышления учащихся исследованы недостаточно.

Глава 2. Основные показатели и условия развития пространственного мышления, формируемого на графической основе При характеристике уровня развития пространственного мышления  в качестве основного показателя развития пространственного мышления, осуществляемого в условиях графической деятельности, принят тип оперирования образом. Для того чтобы этот показатель был надежным, используются еще два тесно связанных с ним показателя — широта оперирования образом и полнота образа.
2.1. Типы оперирования пространственными образами При создании любого образа, в том числе и пространственного, мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой образ возникает. При оперировании образом мысленно видоизменяется уже созданный на этой образ, нередко в условиях полного отвлечения от нее.
Выделяя оперирование образами в особый вид деятельности представливания, не совпадающий ни по своему содержанию, ни по условиям осуществления, ни по результатам с процессом создания образа, тем самым получаем возможность определить основную функцию пространственного мышления. Под пространственным мышлением подразумевается свободное оперирование пространственными образами, созданными на различной наглядной основе, их преобразование с учетом требований задачи.
Все многообразие случаев оперирования пространственными образами можно свести к трем основным: приводящим к изменению положения воображаемого объекта (I тип), изменению его структуры (II тип) и к комбинации этих преобразований (III тип). Остановимся на описании каждого типа оперирования.
Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ, уже созданный на графической наглядной основе, в процессе решения задачи мысленно видоизменяется в соответствии с условиями задачи. Эти изменения касаются в основном пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. Типичными случаями такого оперирования являются различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее, что приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на графической основе, которая объективно остается при этом неизменной. Следует отметить, что приемы мысленного вращения (смещения) применяются при создании пространственного образа. Но в этом случае они используются применительно к изображению (например, чертежу) или отдельным его элементам. В процессе оперирования изменению подлежат не столько элементы воспринимаемого изображения, сколько уже созданный на их основе образ. Мысленное вращение осуществляется при этом без непосредственной опоры на наглядность.
Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ под влиянием задачи преобразуется в основном по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления (усечения) и т.п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа в этом случае намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергается здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производимые преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором.
Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразования исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре.
Сравнительный анализ трех типов оперирования пространственными образами показывает, что оперирование может осуществляться применительно к разным элементам в структуре образа: его форме, положению, их сочетаниям. Выделенные типы оперирования пространственными образами, их доступность учащимся рассматриваются как один из важных и весьма надежных показателей, характеризующих уровень развития пространственного мышления.
В соответствии с тремя типами оперирования выделены три уровня развития пространственного мышления (низкий, средний, высокий). Этот показатель положительно коррелирует с другими показателями, такими, как широта оперирования пространственным образом, полнота образа, его динамичность, обобщенность, обратимость и т.п.
Итак, рассмотрены основные типы оперирования пространственными образами, встречающиеся в процессе решения графических задач, различных по своему предметному содержанию. Исследование реальных механизмов, обеспечивающих возможность оперировать образами, поможет понять психологическую природу затруднений, разработать надежные критерии для определения уровня развития пространственного мышления.
2.2. Широта оперирования геометрическим образом и полнота образа Представим, что учащийся хорошо выполняет преобразования по тому или иному типу. Чтобы убедиться в том, что данный тип оперирования для него не случаен, необходимо проверить его устойчивость, т. е. возможность выполнять данные преобразования на различном графическом материале. В этих целях используется такой показатель, какширота оперирования. Кроме того, оперирование пространственным образом предполагает, что учащиеся мысленно преобразуют заданную графическую наглядность в трех тесно взаимосвязанных направлениях: по форме, величине, пространственному положению. Отражение этих признаков в образе, мысленно преобразуемом, и характеризует полноту образа. Если эти признаки не теряются человеком в процессе преобразования образа, то можно наняться на успешность его преобразования.
Вот почему тип, широта оперирования и полнота образа приняты в качестве основных показателей развития пространственного мышления.
Тип оперирования образоместь доступный ученику способ преобразования созданного образа. С помощью данного показателя удается не только выявлять намеченный тип оперирования образом, сложившийся испытуемого к моменту проверки, но и следить за динамикой его изменений в процессе обучения.
Широта оперированияесть степень свободы манипулирования образом с учетом той графической основы, на которой образ первоначально создавался. Данный показатель дает возможность выявить степень устойчивости в оперировании образом по тому или иному типу, независимо от характера изображения. Свобода такого оперирования, проявляющаяся в легкости и быстроте перехода от одного графического изображения к другому, своеобразное «перекодирование» их содержания типичны для развитого мышления. На основании этого показателя легко установить, является ли данный тип оперирования образом, результатом непосредственного обучения или же это есть проявление индивидуальной способности ученика, который самостоятельно, по собственной инициативе осуществляет подобные преобразования на разнотипных изображениях. Важным здесь является умение создавать образы и оперировать ими, используя для этого разные виды графических изображений.
Оценивая уровень развития пространственного мышления учитывается также содержание пространственного образа, который создается на различной графической основе, а затем преобразуется. Ведь от того, каков образ по содержанию (насколько в нем полно отражены все пространственные характеристики объекта), во многом зависит успешность оперирования им. Для выявления структуры образа использовалась такая его характеристика, как полнота.
Полнота образа характеризует его структуру, т.е. набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственная размещенность (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов).
Умение вычленять пространственные соотношения и оперировать ими прямо не зависит от усвоения знаний, в то время как умение вычленять форму и размеры изображенного объекта опосредствуется целой системой усвоенных знаний, приемов и способов действий.
Относительная «независимость» умения к вычленению пространственных свойств и отношений от специальных знаний выступает в качестве показателя, характеризующего наиболее устойчивую индивидуально-психологическую особенность людей, связанную с ориентацией в пространстве. Эта способность носит устойчивый характер и проявляется при работе с разным учебным материалом. Под влиянием специального обучения она может успешно развиваться, но темпы и характер ее развития во многом определяются исходной основой, выявление которой очень важно для правильной индивидуализации обучения, что особенно существенно при обучении графическим дисциплинам в школе.
Важной характеристикой полноты образа является его динамичность, выражающаяся в умении:
•  мысленно фиксировать изменения в содержании образа;
•  произвольно изменять точку отсчета.
Выделенные показатели: широта и тип оперирования образом, отражающиеся в его полноте и динамичности, характеризуют уровень развития пространственного мышления.
Овладение специальной системой графических знаний, умений и навыков является важнейшим условием, вне которого не может быть развития пространственного мышления. Однако последнее зависит не только от усвоения специальных знаний, но и от структуры пространственных образов.
Создание соответствующих упражнений на основе классификации различных видов изображений и типов их преобразований не только способствовало правильному и более раннему усвоению учащимися основополагающих понятий о пространстве и его элементах (таких, например, как пространственное тело, плоскость и т.п.), но играло бы большую роль в развитии пространственного мышления школьников.
Для формирования пространственного мышления важно не только уметь абстрагировать признаки пространственных объектов, но и понимать относительность границ между отдельными группами объектов, возможность использования для их анализа различных критериев, тесно взаимосвязанных. Относительность пространственных характеристик объектов обусловлена динамикой объектов, их постоянным движением, перемещением, преобразованием. К сожалению, развитию этой важной особенности пространственного мышления не уделяется пока должного внимания. А между тем понимание учащимися не только способа существования, но и происхождения различных геометрических форм, возможность их преобразования является важной предпосылкой для формирования динамичности (обратимости, взаимозаменяемости) пространственных образов.
Ориентация по схеме тела оказывает существенное влияние на формирование и развитие всей системы пространственных образов. Будучи прочно закрепленной, она переносится с практических действий с предметами на анализ геометрического пространства, что вызывает значительные трудности, которые проявляются у школьников при усвоении геометрии.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Итак, создание и оперирование пространственными образами опирается на сложную систему знаний о пространственных свойствах и отношениях, на формирование специальных приемов их восприятия и представливания. Но этого оказывается недостаточно. Нужна сложная, кропотливая и систематическая работа по формированию умений использовать различные графические изображения, произвольно изменять систему отсчета (см. ниже).
Это требует существенного изменения содержания и методов обучения. По-видимому, отсутствием в должной мере этих изменений можно объяснить психологическую природу многих трудностей, связанных, в частности, с овладением графической деятельностью. Так, становится, например, понятной причина массовой ошибки, которую допускают учащиеся, когда вид слева называют видом справа. При ориентировке по схеме тела вид сбоку располагается на чертеже справа, если плоскость чертежа представить в прямоугольной системе координат. Но при составлении проекций чертежа за основную систему отсчета принимается не позиция наблюдателя, а фиксированная позиция объекта (выбирается его главный вид). По отношению к нему строится вид сверху и слева.
Отсутствие у учащихся динамической смены точек отсчета и порождает многие трудности, встречающиеся при овладении графической деятельностью.
Развитие пространственного мышления в процессе обучения идет по следующим основным направлениям:
• овладение произвольностью в использовании систем отсчета;
• формирование обобщенных способов создания пространственных образов и оперирования ими, т.е. совершенствование деятельности представливания;
• усвоение графической культуры, что обеспечивает возможность оперирования пространственными образами разной меры конкретности, наглядности, перекодирование этих образов в соответствии с требованиями графической деятельности.
2.3. Использование разных систем отсчета при оперировании пространственными образами Одной из особенностей пространственного мышления является использование разных систем ориентации в пространстве (видимом или воображаемом). Наиболее естественной, закрепленной всем опытом человека системой ориентации является схема тела (исходная позиция наблюдателя), которая лежит в основе практической ориентации в системе предметов и явлений. Ее изменение нередко влечет за собой перестройку всей системы пространственных отношений. Пространственная размещенность предметов объективно остается неизменной, но их мысленное отражение в образе будет меняться при изменении точки отсчета.
То же самое можно наблюдать при создании образов на графической основе. Чертеж будет различным, если изменяется позиция наблюдателя относительно одного и того же объекта. По своей структуре объект не изменяется, но в зависимости от того, какой вид его принимается за главный, изменяются изображения его проекций на плоскость, а вместе с тем и образы этих проекций.
При переходе к геометрическому пространству учащиеся наряду с опорой на схему тела вынуждены часто абстрагироваться от нее. Так, при определении пространственной размещенности геометрических объектов за исходную точку отсчета часто принимается не наблюдатель, а любой, абстрактный, произвольно выбранный элемент (точка, отрезок, угол и т.п.), по отношению к которому пространственно размещаются все другие элементы. Это особенно четко обнаруживается, когда образы геометрических объектов формируются на основе условно – графических изображений (чертежей, схем, графиков и т.п.).
При усвоении курса начертательной геометрии основные трудности возникают при необходимости изменить базу отсчета, выйти мысленно за пределы трехгранного угла, обращенного к наблюдателю, и представить расположение геометрических фигур в других октантах. Оставаясь в пределах эмпирической системы отсчета, человек не сможет овладеть геометрическим пространством в его теоретическом содержании. В ходе решения графических задач учащиеся постоянно изменяют базу отсчета, принимая за исходные не только реальные объекты, но и абстрактные геометрические фигуры.
Переход от реального пространства к системе его условно – графических заменителей связан с формированием адекватных средств, направленных на произвольное создание образов и оперирование ими. Этот переход не осуществляется автоматически. Он обеспечивается в процессе усвоения специального понятийного аппарата, использованием систем отсчета, способов представливания.
Для более эффективного развития пространственного мышления необходима классификация разных типов пространственных задач с учетом всех требований, предъявляемых к использованию различных систем отсчета на основе анализа каждой из них.

 Глава 3. Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач Выше были рассмотрены условия, в которых осуществляется возникновение образа и оперирование им. Среди этих условий можно выделить следующие:
1) характер наглядной основы, на которой образ впервые воз­никает;
2) особенности графической задачи, определяющей требования к созданию образа и оперированию им.
В процессе решения задач часто используется не один, а несколько видов графических изображений (рисунок, чертеж и др.), что требует не только создания образов, адекватных заданным изображениям, но и перекодирования их.
В процессе решения задачи необходимо, опираясь на разные графические изображения, увидеть объект многопланово, причем образы, возникающие на основе изображений, должны сливаться в единый, целостный образ. Единичные образы, полученные от восприятия каждого изображения, различаются уровнем наглядности, обобщенности, схематичности. Они не просто рядоположно существуют, а видоизме­няются, преобразуются в процессе решения. Поэтому в конечном образе — образе-результате — отражается в снятом виде вся логика преобразований исходных образов. Структура этих образов зависит от содержания исходной наглядности, на которой они возникают.
Структура пространственного образа существенно зави­сит от характера наглядной основы, на которой образ возникает. В процессе решения графических задач используются не одно, а несколько изображений разного типа, требуется переход от одно­го к другому, что обусловливает изменения в структуре образа. В каждом графическом образе отражаются по преимуществу те свойства объекта, которые фиксируются графическим изображением. Однако структура пространственного образа определяется не только характером наглядной основы. Она определяется также той функцией, которую образ выполняет в процессе решения графической задачи. В зависимости от функции в образе фиксируются не все свойства и признаки отображаемого объекта, а лишь те, которые необходимы для реализации деятельности, ее успешного осуществления. Избирательность психического отражения — фундаментальная закономерность, выражающаяся в за­висимости структуры образа от его функции в деятельности. Эта закономерность в специфическом виде проявляется и при созда­нии пространственных образов.
Образ «рождается» под влиянием двух тесно взаимосвязанных детерминант: наглядной основы и требований деятельности, обусловленных конкретными условиями задачи. Это важно иметь в виду при использовании принципа наглядности в обучении. Нередко выбор наглядного графического изображения диктуется только его иллюстративной функцией. Но важно учитывать также требования учебной задачи и, исходя из этого, выбирать адекватное графическое изображение.
Выбор графической иллюстрации должен опираться на анализ содержания учебной деятельности, с учетом той реальной задачи, которую выполняет ученик. Необходимо предоставлять ученикам свободу выбора в использовании графических изображений с учетом их функции в усвоении заданного учебного материала, легкости оперирования ими.
После рассмотрения сложных зависимостей, которые имеют место в процессе создания образа с учетом исходной графической основы и содержания задачи, проанализируем, как проявляются эти зависимости при решении графических задач, где создание пространственных образов и оперирование ими являются основной целью.
Следует подчеркнуть, что в задачах начертательной геометрии образ, возникающий первоначально на заданной графической основе, является лишь исходной моделью, обладающей различным набором пространственных и проекционных признаков. Какие из них будут использованы — это зависит от конкретного условия задачи, где фиксируется направление мысленного преобразования исходного образа — модели.
Все выполняемые преобразования, требующие деятельности представливания, непосредственно не заданы исходным изобра­жением. Конечный образ, фиксирующий результат решения, конструируется (строится) с учетом требований задачи. Поэтому структура образа (набор отображаемых им элементов, признаков, свойств) зависит от функции образа в системе задачи. Причем в процессе решения задачи может происходить переориентация на различные признаки и свойства.
Таким образом, в задачах по начертательной геометрии имеет место динамическое соотношение пространственных признаков и свойств, которые непосредственно фиксируются в ходе решения задачи. Здесь также наблюдается своеобразное перекодирование, но выражается оно не только в переходе от одного графического образа к другому, но и в переходе от одних пространственных признаков к другим.
Структура пространственного образа, создаваемого на различной графической основе, определяется конкретными условиями и требованиями деятельности. Она динамически меняется в зависимости от содержания графической задачи, по­скольку имеет место постоянный переход:
•  от наглядных изображений к условно-схематическим;
•  от трехмерных (объемных) к двухмерным (плоскостным);
•  от одной системы ориентации к другой, используя различные свойства изображенного объекта (его форму, величину, пространственные соотношения).
Необходимость изменения структуры пространственных образов определяется их функцией в деятельности (в процессе решения задачи). Первоначально возникший образ (на основе чтения исходного изображения) может только тогда выполнять функцию контроля, коррекции, прогнозирования деятельности (т.е. регулирующую функцию), когда он в процессе решения задачи по­стоянно преобразуется.
Во многих графических задачах логика движения образов (их видоизменение, взаимопревращение) и есть по существу основной механизм решения.
С одной стороны, образ не может быть инвариантным по отношению к той наглядной (графической) основе, на которой он создается. Он должен быть адекватен этой основе. С другой — образ не может быть чем-то неподвижным, статичным, застывшим. Он должен быть динамичным, подвижным, оперативным. В противном случае он не сможет выполнять свою функцию в процессе решения задачи, где требуется не просто зафиксировать наличную, исходную ситуацию, а ее преобразовать.
Если исходная графическая наглядность в условии задачи зада­ется, как правило, стабильной, неизмененной, то функция образа постоянно меняется, что требует непрерывного переструктурирования образов. Статичность и динамичность образа выступают здесь в единстве. Там, где они рассогласованы, возникают трудности в решении графических задач.
Исходная наглядность является лишь первичной основой со­здания образа. В процессе решения задачи образ неоднократно преобразуется. Его преобразования тесно связаны не только с со­хранением образа в памяти, но и с использованием понятийного аппарата, определяющего способы преобразования образа в логике задачи.
В основе решения графических задач лежит деятельность представливания, приобретающая сложную структуру. Процесс решения графических задач складывается из своеобразного сочетания исходных образов, возникающих на заданной наглядной основе, выбора способов их преобразования (графического моделирования) и образов, представляющих собой графические схемы движений, воспроизводящих логику мысленного построения изображения. Единство и взаимопроникновение этих образов на основе широкого использования знаний, понятий о видах изображений, способов их построений обеспечивают нахождение правильных стратегий решения графических задач, где образные и понятийные компоненты сливаются в единое целое.

Глава 4. Методика работы с геометрическими образами Работа с геометрическими образами при усвоении математики предполагает значительную нагрузку на интеллект, поэтому «насыщение» урока учебным материалом, требующим работы с образом, должно опираться на четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику.
Таких заданий в геометрии используется много. Они содержатся в учебниках, анализируются учителем на уроке, задаются в виде контрольных (самостоятельных) работ, как домашние задания. Они различаются своим математическим содержанием. Они неоднородны и по составу той реальной деятельности, которая обеспечивает создание по чертежу образов. Но именно с этой точки зрения задания в учебниках недостаточно систематизированы ни в пределах одной темы, ни курса в целом. Задавая их ученикам, учитель не всегда отдает себе отчет в том, какие требования они предъявляют к созданию образа. Конечно, образ возникает у ученика по чертежу (в большинстве случаев) адекватный, но какименно он возникает, этого, как правило, не знают ни авторы учебников, ни учителя. Констатируя конечный результат — созданный образ (правильный или неправильный), учитель не располагает набором заданий, который позволил бы ему «зондировать» сам процесс создания геометрического образа. Целесообразно различать две системы заданий (см. 4.1 и 4.2).
4.1. Задания на создание геометрических образов   4.1.1.  Задания на перевод словесных данных задачи в графический образ Эти задания широко используются в школьной геометрии. Они предполагают выполнение чертежа в соответствии с условием задачи, заданным в словесной или символьной форме. Есть такие задачи, которые задаются словами и не содержат ни букв, ни символов в тексте («Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке пополам»).
Пример1: Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения:
1.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М (рис. 1).
2.Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой прямой МТ (рис. 2).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shapetype id="_x0000_t75" coordsize=«21600,21600» o:spt=«75» o:divferrelative=«t» path=«m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe» filled=«f» stroked=«f»><path o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1027" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><group id="_x0000_s1029" coordorigin=«1511,1767» coordsize=«2425,1947» o:regroupid=«1»><shapetype id="_x0000_t7" coordsize=«21600,21600» o:spt=«7» adj=«5400» path=«m@0,l,21600@1,21600,21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs="@4,0;10800,@11;@3,10800;@5,21600;10800,@12;@2,10800" textboxrect=«1800,1800,19800,19800;8100,8100,13500,13500;10800,10800,10800,10800»><shapetype id="_x0000_t202" coordsize=«21600,21600» o:spt=«202» path=«m,l,21600r21600,l21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect»><shape id="_x0000_s1041" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«1» filled=«f» stroked=«f»>    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«671» height=«270» src=«dopb128984.zip» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077 _x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
  4.1.2.  Задания на выделение существенных признаков геометрических понятий, их актуализацию Выделение существенных признаков может осуществляться:
а)       по словесному описанию условий задачи;
б)       по графическому изображению фигуры.
Ученик по словесному описанию задачи должен выделить (подчеркнуть) те слова, в которых заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать, вычислить и т.п.). Это необходимо, чтобы ученик мог сознательно отчленять известное от искомого. Вычленение существенных признаков понятий можно организовать и по чертежу.
Пример 2: На рисунке изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость α. Верно ли сделан рисунок? (рис. 3)
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1088" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«266» height=«263» src=«dopb128985.zip» v:shapes="_x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091 _x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105 _x0000_s1106 _x0000_s1107 _x0000_s1108 _x0000_s1109 _x0000_s1110 _x0000_s1111 _x0000_s1112 _x0000_s1113 _x0000_s1114 _x0000_s1115">Решение: При внимательном изучении рисунка видно, что прямые а, b и c лежат в одной плоскости (используется аксиома задания плоскости).
Прямые а, b и c пересекают плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В и С (аксиома пересечения плоскостей). Но по чертежу видно, что через точки А, В и С невозможно провести единственной прямой. Следовательно, рисунок сделан неверно.
    4.1.3. Задания на вычленение фигуры из состава других фигур чертежа Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных признаков, детерминирован требованиями задачи.
Такие задания можно составить на любом материале, используя различные геометрические фигуры как двух-, так и трехмерные. Они предполагают смену анализа фигур: переход от одних к другим, отвлечение от остальных.
Пример 3: Назовите по рисунку (рис. 4):
1.Плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, АС;
2.Точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ.
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1117" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«239» height=«254» src=«dopb128986.zip» v:shapes="_x0000_s1116 _x0000_s1117 _x0000_s1118 _x0000_s1119 _x0000_s1120 _x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143">Решение:
1.                  <shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image004.wmz» o:><img width=«363» height=«46» src=«dopb128987.zip» v:shapes="_x0000_i1026">
2.                 <shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image006.wmz» o:><img width=«261» height=«26» src=«dopb128988.zip» v:shapes="_x0000_i1027">
    4.1.4. Задания на сравнение фигур чертежа Эти задания также требуют произвольного внимания, обеспечивающего гибкий переход от одних элементов к другим, с целью их сравнения по заданным признакам.
Такие задания требуют знания существенных признаков; фиксации внимания на двух или более фигурах; мысленного сопоставления их элементов; опознания на них существенных признаков, объединение фигур на основе их сходства и различия с целью вычленения общего признака, т.е. установления в образах определенной логической связи.
Сравнение элементов чертежа может осуществляться двумя путями. Первый путь — установление того, является ли данный объект элементом определенного множества объектов или нет (задача подведения под «понятие», осуществляемая в образной форме). Второй путь — установление принадлежности данного объекта одному из классов заданного множества объектов (задача на классификацию). И в том, и в другом случае выявляются, а также развиваются определенные логические операции, но осуществляются они над образами, ведь при этом имеет место мысленное воссоздание или видоизменение элементов чертежа, хотя исходный чертеж не изменяется. Происходит зрительная актуализация существенных признаков, выявление их логической структуры, мысленная проверка наличия этих признаков у рассматриваемой фигуры, их опознание.
Пример 4 (задача на классификацию): Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что <shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image008.wmz» o:><img width=«57» height=«41» src=«dopb128989.zip» v:shapes="_x0000_i1028">; <shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image010.wmz» o:><img width=«59» height=«44» src=«dopb128990.zip» v:shapes="_x0000_i1029"> (рис. 5).
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1145" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><line id="_x0000_s1148" from=«4342,6726» to=«5034,7324» o:regroupid=«6»><line id="_x0000_s1149" from=«2786,6728» to=«3478,7327» o:regroupid=«6»><rect id="_x0000_s1150" o:regroupid=«6»><line id="_x0000_s1151" from=«4343,7810» to=«5034,8409» o:regroupid=«6»><line id="_x0000_s1152" from=«2786,7810» to=«3478,8409» o:regroupid=«6»><rect id="_x0000_s1153" o:regroupid=«6» filled=«f»><shape id="_x0000_s1154" coordsize=«992,1» o:regroupid=«6» path=«m,1l992,e» filled=«f»><shape id="_x0000_s1155" coordsize=«14,1061» o:regroupid=«6» path=«m14,1061l,e» filled=«f»><shape id="_x0000_s1156" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1157" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1158" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1159" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1160" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1161" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1162" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1163" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«7» filled=«f» stroked=«f»><img width=«279» height=«232» src=«dopb128991.zip» v:shapes="_x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164">Решение: Используется свойство равенства противолежащих сторон граней – параллелограммов. Тогда <shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image013.wmz» o:><img width=«146» height=«24» src=«dopb128992.zip» v:shapes="_x0000_i1030">см. Найдем искомое в задаче:
<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image015.wmz» o:><img width=«289» height=«49» src=«dopb128993.zip» v:shapes="_x0000_i1031">;<shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image017.wmz» o:><img width=«130» height=«46» src=«dopb128994.zip» v:shapes="_x0000_i1032">
<shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image019.wmz» o:><img width=«184» height=«102» src=«dopb128995.zip» v:shapes="_x0000_i1033">
Отсюда <shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image021.wmz» o:><img width=«321» height=«32» src=«dopb128996.zip» v:shapes="_x0000_i1034">.
4.1.5. Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе решения задачи В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика «образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат — выполнение построения на основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.
Рассмотрев все элементы чертежа, определив их существенные (понятийные) признаки, ученик должен «расширить» круг необходимых данных, для чего и делается дополнительное построение. Оно может быть результатом «слепых» проб, когда ученик без достаточного анализа задачи делает те или иные построения — легко отказывается от одних и переходит к другим. Но построение может быть строго логически обосновано результатом решения задачи (ее отдельного этапа). Это нетрудно установить, наблюдая за работой ученика над задачей.
Задания на расширение данных чертежа путем:
а) дополнительных построений;
б) «переосмысливания», т.е. мысленного «включения» в другую фигуру, имеют большую диагностическую ценность.
Они проявляют возможность ученика выйти за пределы наличной наглядной ситуации, расширить ее, руководствуясь логикой решения задачи.
Эти задания имеют особую ценность в стереометрии, где поиск и нахождение нового элемента нередко представляет собой целую цепь мысленных преобразований, осуществляемых над образом исходной фигуры, когда требуется не только выделение понятийных признаков («ребро куба», «диагональ параллелепипеда», «сечение конуса» и т.п.), но и подлинное создание новогогеометрического образа (мысленное «выделение» нового элемента чертежа; «помещение» его в определенной плоскости, выделение среди других). Конечно, все эти умения не формируются сами собой. Они должны быть обеспечены системой заданий. Должны быть разработаны соответствующие правила (образцы, рекомендации), их решения, которые бы раскрывали ученику «технологию» создания образа: возможность мысленно прослеживать его изменения, удерживать в образе его основные элементы, вводить новые — необходимые и достаточные для решения задачи.
Пример 5: Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см (рис. 6).
<lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1166" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><shape id="_x0000_s1168" coordsize=«707,1291» o:regroupid=«11» path=«m,l707,1291e» filled=«f»><shape id="_x0000_s1169" coordsize=«714,1287» o:regroupid=«11» path=«m714,l,1287e» filled=«f»><group id="_x0000_s1170" coordorigin=«1129,2706» coordsize=«1656,767» o:regroupid=«11»><shapetype id="_x0000_t19" coordsize=«21600,21600» o:spt=«19» adj="-5898240,,,21600,21600" path=«wr-21600,,21600,43200,,,21600,21600nfewr-21600,,21600,43200,,,21600,21600l,21600nsxe» filled=«f»><path arrowok=«t» o:extrusionok=«f» gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs=«0,0;21600,21600;0,21600»><path o:connectlocs=«0,21390;43137,19964;21599,21600»><path o:connectlocs=«0,21723;43160,20292;21600,21600»><group id="_x0000_s1173" coordorigin=«1369,1854» coordsize=«1140,540» o:regroupid=«11»><path o:connectlocs=«0,21390;43137,19964;21599,21600»><path o:connectlocs=«0,21723;43160,20292;21600,21600»><oval id="_x0000_s1176" o:regroupid=«10» fillcolor=«black»><oval id="_x0000_s1177" o:regroupid=«10» fillcolor=«black»><shape id="_x0000_s1178" coordsize=«929,274» o:regroupid=«9» path=«m,274l929,e» filled=«f»><shape id="_x0000_s1179" coordsize=«457,183» o:regroupid=«9» path=«m,183l457,e» filled=«f»><shape id="_x0000_s1180" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«9» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1181" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«9» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1182" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«9» filled=«f» stroked=«f»><shape id="_x0000_s1183" type="#_x0000_t202" o:regroupid=«9» filled=«f» stroked=«f»><img width=«286» height=«271» src=«dopb128997.zip» v:shapes="_x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188">Решение: Достроим усеченный конус до полного и рассмотрим его диагональное сечение. Заметим, что радиус нижнего основания усеченного конуса вдвое больше радиуса верхнего основания. Следовательно, высота и образующая конуса увеличатся в два раза (по подобию треугольников). По теореме Пифагора: образующая  усеченного конуса равна 5 см.
  4.1.6. Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения Эти задания используются в тех случаях, когда некоторые фигуры чертежа надо рассмотреть в плане разных понятий, т. е. переосмыслить их. Это достигается вычленением отдельной фигуры, выделением ее из остальных и включением в новые фигуры, путем их сочетания. Все это должно осуществляться мысленно, что требует, во-первых, абстрагирования отдельных фигур (углов, отрезков, их комбинаций) и, во-вторых, объединения с новыми, т.е. своеобразного мысленного синтеза этих фигур. Заметим, что такое видоизменение чертежа осуществляется «в уме» (ведь исходный чертеж остается при этом неизменным), поэтому вся работа ученика протекает «во внутреннем плане», скрыта от непосредственного наблюдения со стороны учителя. Необходимо обучать вычленению отдельной фигуры, включению ее в другие. Для этого важно сформировать у ученика в определенном порядке следующие мыслительные операции: сосредоточение своего внимания на отдельной фигуре, отвлечения от остальных; актуализация существенных признаков геометрических понятий, характеризующих данную фигуру; актуализация геометрических понятий, отражающих свойства других фигур чертежа; сопоставление данной фигуры с другими, включение ее в состав этих фигур; объединение на основе новых геометрических понятий (признаков, свойств, отношений), что дает возможность рассмотреть их по-новому, т.е. переосмыслить.
Вся эта система мыслительных действий (их содержание, последовательность осуществления) должна быть выявлена, описана и задана для усвоения учащимся. Иначе их взор будет лишь «скользить» по чертежу, не решая никаких конкретных задач. Ведь недаром говорится, что «смотреть не значит видеть». Чтобы видеть, надо уметь осуществлять определенные мыслительные действия, с содержанием которых ученики должны быть знакомы. Это умение обеспечивает основную логическую операцию — произвольное включение одной и той же фигуры  в состав различных элементов чертежа, что формирует такие важные качества ума, как внимательность, наблюдательность, сообразительность. Это включение осуществляется в процессе решения задачи неоднократно, подчинено логике решения задачи.
Пример 6: Точка Е – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые  а) АР, ВС и АВ (рис. 7а); б) АС (рис. 7б).
Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1190" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»>    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--<img width=«624» height=«280» src=«dopb129009.zip» v:shapes="_x0000_s1328 _x0000_s1329 _x0000_s1330 _x0000_s1331 _x0000_s1332 _x0000_s1333 _x0000_s1334 _x0000_s1335 _x0000_s1336 _x0000_s1337 _x0000_s1338 _x0000_s1339 _x0000_s1340 _x0000_s1341 _x0000_s1342 _x0000_s1343 _x0000_s1344 _x0000_s1345 _x0000_s1346 _x0000_s1347 _x0000_s1348 _x0000_s1349 _x0000_s1350 _x0000_s1351 _x0000_s1352 _x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1355 _x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1358 _x0000_s1359 _x0000_s1360 _x0000_s1361 _x0000_s1362 _x0000_s1363 _x0000_s1364 _x0000_s1365 _x0000_s1366 _x0000_s1367 _x0000_s1368 _x0000_s1369 _x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374 _x0000_s1375 _x0000_s1376 _x0000_s1377"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
1.02. Сделайте чертеж: Плоскость α пересекает три параллельные прямые a, b и cсоответственно в точках А, В иС, принадлежащих одной прямой (рис. 12).
1.03. Сделайте чертеж: Плоскость α пересекает три параллельные прямые a, b и cсоответственно в вершинах ∆АВС (рис. 13).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1379" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«612» height=«290» src=«dopb129010.zip» v:shapes="_x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1381 _x0000_s1382 _x0000_s1383 _x0000_s1384 _x0000_s1385 _x0000_s1386 _x0000_s1387 _x0000_s1388 _x0000_s1389 _x0000_s1390 _x0000_s1391 _x0000_s1392 _x0000_s1393 _x0000_s1394 _x0000_s1395 _x0000_s1396 _x0000_s1397 _x0000_s1398 _x0000_s1399 _x0000_s1400 _x0000_s1401 _x0000_s1402 _x0000_s1403 _x0000_s1404 _x0000_s1405 _x0000_s1406 _x0000_s1407 _x0000_s1408 _x0000_s1409 _x0000_s1410 _x0000_s1411 _x0000_s1412 _x0000_s1413 _x0000_s1414 _x0000_s1415 _x0000_s1416 _x0000_s1417 _x0000_s1418 _x0000_s1419 _x0000_s1420 _x0000_s1421 _x0000_s1422 _x0000_s1423 _x0000_s1424 _x0000_s1425 _x0000_s1426 _x0000_s1427 _x0000_s1428 _x0000_s1429 _x0000_s1430 _x0000_s1431 _x0000_s1432 _x0000_s1433"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
1.04. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 14). 1) Выделите в нем ребро ВВ1 и назовите все ребра куба: а) параллельные ему; б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выделите диагональ AD1 грани ADA1D1куба и назовите диагонали граней: а) параллельные AD1; б) пересекающие ее; в) скрещивающиеся с ней. Ответ обоснуйте.
2.01. Сделайте чертеж: Плоскость α проходит через середины сторон АВ и АС треугольника АВС и не содержит вершины А (рис. 15).
2.02. Сделайте чертеж: Прямая MP параллельна плоскости α, а плоскость РМТ пересекает эту плоскость по прямой КТ (рис. 16).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1435" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«612» height=«231» src=«dopb129011.zip» v:shapes="_x0000_s1434 _x0000_s1435 _x0000_s1436 _x0000_s1437 _x0000_s1438 _x0000_s1439 _x0000_s1440 _x0000_s1441 _x0000_s1442 _x0000_s1443 _x0000_s1444 _x0000_s1445 _x0000_s1446 _x0000_s1447 _x0000_s1448 _x0000_s1449 _x0000_s1450 _x0000_s1451 _x0000_s1452 _x0000_s1453 _x0000_s1454 _x0000_s1455 _x0000_s1456 _x0000_s1457 _x0000_s1458 _x0000_s1459 _x0000_s1460 _x0000_s1461 _x0000_s1462 _x0000_s1463 _x0000_s1464 _x0000_s1465 _x0000_s1466 _x0000_s1467 _x0000_s1468 _x0000_s1469 _x0000_s1470 _x0000_s1471 _x0000_s1472 _x0000_s1473 _x0000_s1474 _x0000_s1475 _x0000_s1476 _x0000_s1477 _x0000_s1478 _x0000_s1479 _x0000_s1480 _x0000_s1481 _x0000_s1482 _x0000_s1483 _x0000_s1484 _x0000_s1485 _x0000_s1486 _x0000_s1487 _x0000_s1488"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
2.03. Сделайте чертеж: Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей α и β (рис. 17).
2.04. Известно, что прямая m параллельна плоскости α. Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в этой плоскости α (рис. 18)? Ответ обоснуйте.
Решение: Пусть прямая а принадлежит плоскости α. Выберем на прямой m произвольно точку М и проведем через нее и прямую а плоскость β (аксиома задания плоскости). Прямые m и а не пересекаются (по условию), тогда они либо параллельны (<shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image045.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb129012.zip» v:shapes="_x0000_i1046">), либо скрещиваются (<shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image047.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb129013.zip» v:shapes="_x0000_i1047">). Следовательно, прямыми, параллельными прямой m, будут только те, с помощью которых можно задать плоскость (при участии m).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1490" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«612» height=«220» src=«dopb129014.zip» v:shapes="_x0000_s1489 _x0000_s1490 _x0000_s1491 _x0000_s1492 _x0000_s1493 _x0000_s1494 _x0000_s1495 _x0000_s1496 _x0000_s1497 _x0000_s1498 _x0000_s1499 _x0000_s1500 _x0000_s1501 _x0000_s1502 _x0000_s1503 _x0000_s1504 _x0000_s1505 _x0000_s1506 _x0000_s1507 _x0000_s1508 _x0000_s1509 _x0000_s1510 _x0000_s1511 _x0000_s1512 _x0000_s1513"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
2.06. Даны две скрещивающиеся прямые а и b(рис. 19). Через каждую точку прямой а проводится прямая, параллельная прямой b. Докажите, что все такие прямые лежат в одной плоскости. Как расположена эта плоскость по отношению к прямой b? Ответ обоснуйте.
Решение: Пусть m || b, <shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image050.wmz» o:><img width=«96» height=«24» src=«dopb129015.zip» v:shapes="_x0000_i1049">, тогда m и а задают плоскость α. Возьмем в плоскости α  прямую с || b. По признаку параллельности прямых:  с || m, тогда они задают некоторую плоскость β. По условию <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image052.wmz» o:><img width=«49» height=«19» src=«dopb129016.zip» v:shapes="_x0000_i1050">, значит, они тоже задают плоскость, которая совпадает с α. Следовательно, все прямые, параллельные b и пересекающие а лежат в плоскости, которая в свою очередь параллельна b (по признаку параллельности прямой и плоскости).
2.07. В тетраэдре ABCDточки K, F, N и M – середины ребер соответственно AD, BD, BCиAC(рис. 20). Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) определенное вами расположение указанных прямой и плоскости: А – пересекаются,  Б – параллельны, В – прямая лежит в плоскости, Г – невозможно определить:
Прямая и плоскость
Взаимное расположение
1
BD и AMN
А Б В Г
2
MN и ABC
А Б В Г
3
KC и DMN
А Б В Г
4
MN и ABD
А Б В Г
5
KF и DMN
А Б В Г
6
FN и KMF
А Б В Г
7
CF и AND
А Б В Г
8
FN и DMK
А Б В Г
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1515" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«612» height=«220» src=«dopb129017.zip» v:shapes="_x0000_s1514 _x0000_s1515 _x0000_s1516 _x0000_s1517 _x0000_s1518 _x0000_s1519 _x0000_s1520 _x0000_s1521 _x0000_s1522 _x0000_s1523 _x0000_s1524 _x0000_s1525 _x0000_s1526 _x0000_s1527 _x0000_s1528 _x0000_s1529 _x0000_s1530 _x0000_s1531 _x0000_s1532 _x0000_s1533 _x0000_s1534 _x0000_s1535 _x0000_s1536 _x0000_s1537 _x0000_s1538 _x0000_s1539 _x0000_s1540 _x0000_s1541 _x0000_s1542 _x0000_s1543 _x0000_s1544 _x0000_s1545 _x0000_s1546 _x0000_s1547 _x0000_s1548 _x0000_s1549 _x0000_s1550 _x0000_s1551 _x0000_s1552 _x0000_s1553 _x0000_s1554 _x0000_s1555 _x0000_s1556 _x0000_s1557 _x0000_s1558 _x0000_s1559 _x0000_s1560 _x0000_s1561 _x0000_s1562 _x0000_s1563 _x0000_s1564"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
3.01. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоскости β и γ – общую прямую с. Прямые а и b параллельны (рис. 21).
3.02. Сделайте чертеж: Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ – общую прямую b, а плоскости β и γ параллельны (рис. 22).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1566" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«612» height=«277» src=«dopb129018.zip» v:shapes="_x0000_s1565 _x0000_s1566 _x0000_s1567 _x0000_s1568 _x0000_s1569 _x0000_s1570 _x0000_s1571 _x0000_s1572 _x0000_s1573 _x0000_s1574 _x0000_s1575 _x0000_s1576 _x0000_s1577 _x0000_s1578 _x0000_s1579 _x0000_s1580 _x0000_s1581 _x0000_s1582 _x0000_s1583 _x0000_s1584 _x0000_s1585 _x0000_s1586 _x0000_s1587 _x0000_s1588 _x0000_s1589 _x0000_s1590 _x0000_s1591 _x0000_s1592 _x0000_s1593 _x0000_s1594 _x0000_s1595 _x0000_s1596 _x0000_s1597 _x0000_s1598 _x0000_s1599 _x0000_s1600 _x0000_s1601 _x0000_s1602 _x0000_s1603 _x0000_s1604 _x0000_s1605 _x0000_s1606 _x0000_s1607 _x0000_s1608 _x0000_s1609 _x0000_s1610 _x0000_s1611 _x0000_s1612 _x0000_s1613 _x0000_s1614 _x0000_s1615 _x0000_s1616 _x0000_s1617 _x0000_s1618 _x0000_s1619 _x0000_s1620 _x0000_s1621 _x0000_s1622 _x0000_s1623 _x0000_s1624 _x0000_s1625 _x0000_s1626 _x0000_s1627 _x0000_s1628 _x0000_s1629 _x0000_s1630 _x0000_s1631 _x0000_s1632 _x0000_s1633 _x0000_s1634 _x0000_s1635 _x0000_s1636 _x0000_s1637 _x0000_s1638 _x0000_s1639 _x0000_s1640 _x0000_s1641 _x0000_s1642 _x0000_s1643 _x0000_s1644 _x0000_s1645 _x0000_s1646 _x0000_s1647 _x0000_s1648 _x0000_s1649 _x0000_s1650 _x0000_s1651"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
3.03. Сделайте чертеж: Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости α. Через вершину А и точку М – середину стороны АС – проведены соответственно плоскости β и γ, пересекающие плоскость ∆АВС по прямым АК и МТ (рис. 23).
3.04. В тетраэдре РАВС проведено сечение А1В1Р1, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и Р1Е1 треугольников соответственно АВР и А1В1Р1 (рис. 24).
Решение: Рассмотреть 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: параллельность, пересечение, скрещивание. Итог: РЕ || Р1Е1.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s1653" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»>    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--Решение: а) Плоскость, параллельная каждой из скрещивающихся прямых существует, если данные прямые лежат в параллельных плоскостях.
б) Плоскость, пересекающая каждую из скрещивающихся прямых, существует, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости, которая пересекает каждую из данных прямых.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s2025" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«562» height=«229» src=«dopb129035.zip» v:shapes="_x0000_s2024 _x0000_s2025 _x0000_s2026 _x0000_s2027 _x0000_s2028 _x0000_s2029 _x0000_s2030 _x0000_s2031 _x0000_s2032 _x0000_s2033 _x0000_s2034 _x0000_s2035 _x0000_s2036 _x0000_s2037 _x0000_s2038 _x0000_s2039 _x0000_s2040 _x0000_s2041 _x0000_s2042 _x0000_s2043 _x0000_s2044 _x0000_s2045 _x0000_s2046 _x0000_s2047 _x0000_s2048 _x0000_s2049 _x0000_s2050 _x0000_s2051 _x0000_s2052 _x0000_s2053 _x0000_s2054 _x0000_s2055 _x0000_s2056 _x0000_s2057 _x0000_s2058 _x0000_s2059 _x0000_s2060 _x0000_s2061 _x0000_s2062 _x0000_s2063 _x0000_s2064 _x0000_s2065 _x0000_s2066"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
2.11. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7, Р8 – середины ребер соответственно АВ, ВВ1, В1А1, А1А, CD, СС1, С1D1, DD1. Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а) Р3Р4и Р1Р2Р6 (рис. 33а); б) Р7Р8 и Р1Р2Р6 (рис. 33б); в) Р4Р7 и Р1Р2Р5 (рис. 33в); г) Р1Р6 и АВ1D (рис. 33г); д) АС и Р3Р4Р5 (рис. 33д); е) BD и Р3Р4Р5 (рис. 33е)?
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s2068" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«568» height=«225» src=«dopb129036.zip» v:shapes="_x0000_s2067 _x0000_s2068 _x0000_s2069 _x0000_s2070 _x0000_s2071 _x0000_s2072 _x0000_s2073 _x0000_s2074 _x0000_s2075 _x0000_s2076 _x0000_s2077 _x0000_s2078 _x0000_s2079 _x0000_s2080 _x0000_s2081 _x0000_s2082 _x0000_s2083 _x0000_s2084 _x0000_s2085 _x0000_s2086 _x0000_s2087 _x0000_s2088 _x0000_s2089 _x0000_s2090 _x0000_s2091 _x0000_s2092 _x0000_s2093 _x0000_s2094 _x0000_s2095 _x0000_s2096 _x0000_s2097 _x0000_s2098 _x0000_s2099 _x0000_s2100 _x0000_s2101 _x0000_s2102 _x0000_s2103 _x0000_s2104 _x0000_s2105 _x0000_s2106 _x0000_s2107 _x0000_s2108 _x0000_s2109 _x0000_s2110 _x0000_s2111 _x0000_s2112 _x0000_s2113 _x0000_s2114 _x0000_s2115 _x0000_s2116 _x0000_s2117 _x0000_s2118 _x0000_s2119 _x0000_s2120 _x0000_s2121 _x0000_s2122 _x0000_s2123 _x0000_s2124 _x0000_s2125 _x0000_s2126 _x0000_s2127 _x0000_s2128 _x0000_s2129 _x0000_s2130 _x0000_s2131 _x0000_s2132 _x0000_s2133 _x0000_s2134 _x0000_s2135 _x0000_s2136 _x0000_s2137 _x0000_s2138 _x0000_s2139 _x0000_s2140 _x0000_s2141 _x0000_s2142 _x0000_s2143 _x0000_s2144 _x0000_s2145 _x0000_s2146 _x0000_s2147 _x0000_s2148 _x0000_s2149 _x0000_s2150 _x0000_s2151 _x0000_s2152 _x0000_s2153 _x0000_s2154 _x0000_s2155 _x0000_s2156 _x0000_s2157 _x0000_s2158 _x0000_s2159 _x0000_s2160 _x0000_s2161 _x0000_s2162 _x0000_s2163 _x0000_s2164 _x0000_s2165 _x0000_s2166 _x0000_s2167 _x0000_s2168 _x0000_s2169 _x0000_s2170 _x0000_s2171 _x0000_s2172 _x0000_s2173 _x0000_s2174 _x0000_s2175 _x0000_s2176 _x0000_s2177 _x0000_s2178 _x0000_s2179 _x0000_s2180 _x0000_s2181 _x0000_s2182 _x0000_s2183 _x0000_s2184 _x0000_s2185 _x0000_s2186 _x0000_s2187 _x0000_s2188 _x0000_s2189 _x0000_s2190 _x0000_s2191 _x0000_s2192 _x0000_s2193 _x0000_s2194 _x0000_s2195 _x0000_s2196 _x0000_s2197 _x0000_s2198 _x0000_s2199 _x0000_s2200 _x0000_s2201 _x0000_s2202 _x0000_s2203 _x0000_s2204 _x0000_s2205 _x0000_s2206 _x0000_s2207"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
Решение: а) Р3Р4|| (Р1Р2Р6) (признак параллельности прямой и плоскости);
б) Р7Р8 || (Р1Р2Р6) (признак параллельности прямой и плоскости);
в) Р4Р7 <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image083.wmz» o:><img width=«17» height=«13» src=«dopb129037.zip» v:shapes="_x0000_i1068"> (Р1Р2Р5) (при параллельном проектировании Р4Р7 на вектор <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image085.wmz» o:><img width=«35» height=«28» src=«dopb129038.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> прямая пересечет плоскость Р1Р2Р5);
г) Р1Р6 || (АВ1D) (дополним плоскостьАВ1Dдо плоскости АВ1С1D; при параллельном проектировании Р1Р6 на вектор <shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image087.wmz» o:><img width=«28» height=«27» src=«dopb129039.zip» v:shapes="_x0000_i1070"> прямая будет лежать в плоскости АВ1С1D, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная Р1Р6);
д) АС || (Р3Р4Р5) (дополним плоскость Р3Р4Р5 до Р3Р4Р6Р5; при параллельном проектировании АС на вектор <shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image089.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb129040.zip» v:shapes="_x0000_i1071"> прямая перейдет в диагональ параллелограмма Р3Р4Р6Р5, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная АС);
е) BD <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image083.wmz» o:><img width=«17» height=«13» src=«dopb129037.zip» v:shapes="_x0000_i1072"> Р3Р4Р5 (при параллельном проектировании BD на вектор <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«29086.files/image091.wmz» o:><img width=«32» height=«28» src=«dopb129041.zip» v:shapes="_x0000_i1073"> прямая пересечет плоскость Р3Р4Р5).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s2209" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»><img width=«566» height=«219» src=«dopb129042.zip» v:shapes="_x0000_s2208 _x0000_s2209 _x0000_s2210 _x0000_s2211 _x0000_s2212 _x0000_s2213 _x0000_s2214 _x0000_s2215 _x0000_s2216 _x0000_s2217 _x0000_s2218 _x0000_s2219 _x0000_s2220 _x0000_s2221 _x0000_s2222 _x0000_s2223 _x0000_s2224 _x0000_s2225 _x0000_s2226 _x0000_s2227 _x0000_s2228 _x0000_s2229 _x0000_s2230 _x0000_s2231 _x0000_s2232 _x0000_s2233 _x0000_s2234 _x0000_s2235 _x0000_s2236 _x0000_s2237 _x0000_s2238 _x0000_s2239 _x0000_s2240 _x0000_s2241 _x0000_s2242 _x0000_s2243 _x0000_s2244 _x0000_s2245 _x0000_s2246 _x0000_s2247 _x0000_s2248 _x0000_s2249 _x0000_s2250 _x0000_s2251 _x0000_s2252 _x0000_s2253 _x0000_s2254 _x0000_s2255 _x0000_s2256 _x0000_s2257 _x0000_s2258 _x0000_s2259 _x0000_s2260 _x0000_s2261 _x0000_s2262 _x0000_s2263 _x0000_s2264 _x0000_s2265 _x0000_s2266 _x0000_s2267 _x0000_s2268 _x0000_s2269 _x0000_s2270 _x0000_s2271 _x0000_s2272 _x0000_s2273 _x0000_s2274 _x0000_s2275 _x0000_s2276 _x0000_s2277 _x0000_s2278 _x0000_s2279 _x0000_s2280 _x0000_s2281 _x0000_s2282 _x0000_s2283 _x0000_s2284 _x0000_s2285 _x0000_s2286 _x0000_s2287 _x0000_s2288 _x0000_s2289 _x0000_s2290 _x0000_s2291 _x0000_s2292 _x0000_s2293 _x0000_s2294 _x0000_s2295 _x0000_s2296 _x0000_s2297 _x0000_s2298 _x0000_s2299 _x0000_s2300 _x0000_s2301 _x0000_s2302 _x0000_s2303 _x0000_s2304 _x0000_s2305 _x0000_s2306 _x0000_s2307 _x0000_s2308 _x0000_s2309 _x0000_s2310 _x0000_s2311 _x0000_s2312 _x0000_s2313 _x0000_s2314 _x0000_s2315 _x0000_s2316 _x0000_s2317 _x0000_s2318 _x0000_s2319 _x0000_s2320 _x0000_s2321 _x0000_s2322 _x0000_s2323 _x0000_s2324 _x0000_s2325 _x0000_s2326 _x0000_s2327 _x0000_s2328 _x0000_s2329 _x0000_s2330 _x0000_s2331 _x0000_s2332 _x0000_s2333 _x0000_s2334 _x0000_s2335 _x0000_s2336 _x0000_s2337 _x0000_s2338 _x0000_s2339 _x0000_s2340 _x0000_s2341 _x0000_s2342 _x0000_s2343 _x0000_s2344 _x0000_s2345 _x0000_s2346 _x0000_s2347"><lock v:ext=«edit» rotation=«t» position=«t»>
 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, P и Q – внутренние точки граней <lock v:ext=«edit» aspectratio=«t»><shape id="_x0000_s2349" type="#_x0000_t75" o:divferrelative=«f»><fill o:detectmouseclick=«t»><path o:extrusionok=«t» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» text=«t»>    продолжение
--PAGE_BREAK--