Лабораторная работа: Уравнения поверхности и линии в пространстве
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О 1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О1на расстоянии R.
Прямоугольная система координат О xyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат О xyz называется такое уравнение F ( x , y , z )=0 с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка М 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точкиM1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют – не лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R c центром в точке О 1 ( x ; y ; z ). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М( x , y , z ) от центра О 1 ( x ; y ; z ) равно радиусу R, т.е. О 1 М = R. Но О 1 М=| |, где =( x - x ; y - y ; z - z ). Следовательно,
=R
или
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы О 1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид
Если же дано уравнение вида F ( x ; y ; z ) =0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F ( x ; y ; z ) =0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения x , y , z . Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси О x (из уравнения следует: y =0, z =0, а x — любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F ( x ; y ; z )=0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
Уравнение линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 1) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.
Если F 1 ( x ; y ; z )=0 и F 2 ( x ; y ; z )=0 – уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
Уравнения этой системы называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси О x .
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 2). В этом случае ее задают векторным уравнением
(t)
Рис. 1 Рис. 2
или параметрическими уравнениями
Проекцией вектора на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Если точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 3).
Рис. 3