Лабораторная работа: Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.2
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой .
2.1.
Уравнение нормали: .
y0= (4*2-22 )/4=1
y'= 1-2x/4
y0'= 1-4/4=0
Уравнение нормали имеет вид:
х=х0
х=2
2.2.
Уравнение нормали: .
y0= 2*4-2*3-1=1
y'= 4х+3
y0'= -4*2+3=-5
Уравнение нормали имеет вид:
у-1=1/5(х+2)
у=1/5х+7/5
2.3.
Уравнение нормали: .
y0= -1-(-1)3 =0
y'=1-3х2
y0'= 1-3*(-1)2 =-2
Уравнение нормали имеет вид:
у=1/2(х+1)
у=1/2х+1/2
2.4.
Уравнение нормали: .
y0= 42 +8√4-32=0
y'= 2х+4/√х
y0'= 2*4+4/√4=10
Уравнение нормали имеет вид:
у=-1/10(х-4)
у=-1/10+2/5
2.5.
Уравнение нормали: .
y0= 1+√13 =2
y'= 1+3х2 /2√х3
y0'= 1+3/2=5/2
Уравнение нормали имеет вид:
у-2=-2/5(х-1)
у=-2/5х+12/5
2.6.
Уравнение нормали: .
y0= 3 √64-20=4-20=-16
y'= 2/(33 √х)
y0'= 2/33 √(-8)=-1/3
Уравнение нормали имеет вид:
у+16=3(х+8)
у=3х+8
2.7.
Уравнение нормали: .
y0= (1+√4)/(1-√4)=-3
y'= ((1/(2√х))*(1-√х)+(1+√х)*1/(2√х))/(1-√х)2 =1/(√(х)*(1-√х)2 )
y0'= 1/(√4*(1-√4))=-1/2
Уравнение нормали имеет вид:
у+3=2(х-4)
у=2х-11
2.8.
Уравнение нормали: .
y0= 84 √16-70=-54
y'= 8/(44 √х3 )=2/4 √х3
y0'= 2/4 √163 =1/4
Уравнение нормали имеет вид:
у+54=-4(х-16)
у=-4х+10
2.9.
Уравнение нормали: .
y0= 2-3+1=0
y'= 4х-3
y0'= 4-3=1
Уравнение нормали имеет вид:
у=-х+1
2.10.
Уравнение нормали: .
y0= (32 -3*3+6)/32 =2/3
y'= ((2х-3)х2 -(х2 -3х+6)2х)/х4 =(2х3 -3х2 -2х3 +6х2 -12х)/х4 =(3х-12)/х3
y0'= (3*3-12)/33 =-1/9
Уравнение нормали имеет вид:
у-2/3=9(х-3)
у=9х-79/3
2.11.
Уравнение нормали: .
y0= √64-33 √64=-4
y'= 1/(2√х)-1/(33 √х2 )
y0'= 1/2√64-1/33 √642 =1/16-1/48=1/24
Уравнение нормали имеет вид:
у+4=-24(х-64)
у=-24х+1532
2.12.
Уравнение нормали: .
y0= (23 +2)/(23 -2)=5/3
y'= (3х2 (х3 -2)-3х2 (х3 +2))/(х3 -2)2 =(3х2 (-4))/(х3 -2)2 =(-12х2 )/(х3 -2)2
y0'= (-12*22 )/(23 -2)2 =-48/36=-4/3
Уравнение нормали имеет вид:
у-5/3=3/4*(х-2)
у=3/4*х+1/6
2.13.
Уравнение касательной: .
y0= 2+3=5
y'= 4х
y0'= -4
Уравнение касательной имеет вид:
у-5=-4(х+1)
2.14.
Уравнение касательной: .
y0= (1+6)/(1+1)=7/2
y'= (29х28 (х4 +1)-4х3 (х29 +6))/(х4 +1)2 =(29х32 +29х28 -4х32 -24х3 )/(х4 +1)2 =(25х32 +29х28 -24х3 )/(х4 +1)2
y0'= (25+29-24)/4=15/2
Уравнение касательной имеет вид:
у-7/2=15/2*(х-1)
у=7,5х-4
2.15.
Уравнение касательной: .
y0= 2+1=3
y'= 2-1/х2
y0'= 2-1=1
Уравнение касательной имеет вид:
у-3=х-1
у=х+2
2.16.
Уравнение касательной: .
y0= -2(1+2)/(3(1+1))=-1
y'= -2/3*(8х7 (х4 +1)-4х3 (х8 +2))/(х4 +1)2 =-2/3*(4х11 +8х7 -8х3 )/(х4 +1)2
y0'= -2/3*(4+8-8)/(1+1)2 =-2/3
Уравнение касательной имеет вид:
у+1=-2/3*(х-1)
у=-2/3*х-1/3
2.17.
Уравнение касательной: .
y0= (1+1)/(1+1)=1
y'= (5х4 (х4 +1)-4х3 (х5 +1))/(х4 +1)2 =(х8 +5х4 -4х3 )/(х4 +1)2
y0'= (1+5-4)/(1+1)2 =1/2
Уравнение касательной имеет вид:
у-1=1/2*(х-1)
у=1/2*х+1/2
2.18.
Уравнение касательной: .
y0=(1+9)/(1-5)=-5/2
y'= (16х15 (1-5х2 )+10х(х16 +9))/(1-5х2 )2 =(16х15 -70х17 +90х)/(1-5х2 )2
y0'= (16-70+90)/(1-5)2 =9/4
Уравнение касательной имеет вид:
у+5/2=9/4*(х-1)
у=9/4*х-19/4
2.19.
Уравнение касательной: .
y0=3(1-2)=-3
y'= 1/(3 √х2 )-3/√х
y0'= 1-3=-2
Уравнение касательной имеет вид:
у+3=-2(х-1)
у=-2х-1
2.20.
Уравнение касательной: .
y0= 1/(3*2+2)=1/8
y'= -3/(3х+2)2
y0'= -3/(3*2+2)2 = -3/64
Уравнение касательной имеет вид:
у-1/8= -3/64*(х-2)
у= -3/64*х+7/32
2.21.
Уравнение касательной: .
y0= -2/(4+1)= -2/5
y'= (х2 +1-2х2 )/(х2 +1)2 = (1-х2 )/(х2 +1)2
y0'= (1-4)/(4+1)2 = -3/25
Уравнение касательной имеет вид:
у+2/5= -3/25*(х+2)
у= -3/25*х-16/25
2.22.
Уравнение касательной: .
y0= 1/3*(9-9+3)=1
y'= 2/3*х-1
y0'= 2-1=1
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= х-3
у= х-2
2.23.
Уравнение касательной: .
y0= 2/(1+1)=1
y'= (2х2 +2-4х2 )/(х2 +1)2 =(2-2х2 )/(х2 +1)2
y0'= (2-2)/(1+1)2 = 0
Уравнение касательной имеет вид:
у= -1
2.24.
Уравнение касательной: .
y0= -2(1+3)= -8
y'= -2/(33 √х2 )-3/(√х)
y0'= -2/3-3= -11/3
Уравнение касательной имеет вид:
у+8= -11/3*(х-1)
у= -11/3*х-13/3
2.25.
Уравнение касательной: .
y0= (1+3)/(3+1)= 1
y'= (6х(3+х2 )-2х(1+3х2 ))/(3+х2 )2 = 16х/(3+х2 )2
y0'= 16/(3+1)2 = 1
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= х-1
у=х
2.26.
Уравнение касательной: .
y0= 14-15+2=1
y'= 7/√х-5/3 √х2
y0'= 7-5= 2
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= 2(х-1)
у= 2х-1
2.27.
Уравнение касательной: .
y0= 3-1= 2
y'= 3/(44 √х3 )-1/(2√х)
y0'= 3/4-1/2= 1/4
Уравнение касательной имеет вид:
у-2= 1/4*(х-1)
у= 1/4*х+7/4
2.28.
Уравнение касательной: .
y0= (3-2)/3= 1/3
y'= 1-2х2
y0'= 1-2= -1
Уравнение касательной имеет вид:
у-1/3= -х+1
у= -х+4/3
2.29.
Уравнение касательной: .
y0= 4/10+3= 17/5
y'= 1/5*х
y0'= 2/5
Уравнение касательной имеет вид:
у-17/5= 2/5*(х-2)
у=2/5*х+13/5
2.30.
Уравнение касательной: .
y0= (16-8-3)/4= 5/4
y'= ½*х-1/2
y0'= 4/2-1/2= 3/2
Уравнение касательной имеет вид:
у-5/4= 3/2*(х-4)
у= 3/2*х-19/4
2.31.
Уравнение касательной: .
y0= 6-16/3= 2/3
y'= 2/3 √х2 -4/(34 √х3 )
y0'= 2-4/3= 2/3
Уравнение касательной имеет вид:
у-2/3= 2/3*(х-1)
у= 2/3*х