Лекция: Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Математические модели прикладных задач

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Движение материальной точки по прямой под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной отклонению от него, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости движения точки, описывается дифференциальным уравнением

что следует из второго закона Ньютона. С учетом возбуждающей силы f(t) дифференциальное уравнение движения материальной точки принимает вид

При отсутствии сопротивления среды (а=0) и наличии периодической возбуждающей силы дифференциальное уравнение движения принимает вид

Общее решение однородного уравнения характеризует собственные колебания. Частное решение неоднородного уравнения

при характеризует вынужденные колебания материальной точки.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой наложение свободных и вынужденных колебаний (принцип суперпозиции сил), т.е.

Если частота внешней силы близка к частоте k собственных колебаний, то амплитуда очень велика, вследствие чего может произойти разрушение всей колебательной системы. Это явление носит название резонанса. В чисто резонансном случае при общее решение уравнения имеет вид

При амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает.

С учетом сопротивления среды и при синусоидальной вынуждающей силе дифференциальное уравнение движения принимает вид

Общее решение однородного уравнения при и описывает собственные колебания и при стремится к нулю. Частное решение неоднородного уравнения при больших t описывает установившийся режим и соответствует вынужденным колебаниям.