Лекция: Суммы квадратов и произведений высоты, массы и урожайности
| Высота, см, х | Масса зерен, г, у | Урожайность, ц, га | х2 | у2 | z2 | xy | xz | yz |
Продолжение табл. 21
∑ y = 2868, ∑x=839, ∑yx=185412, ∑x2=55969, ∑yz = 57737, ∑xz = 16609, ∑z2= 5458, ∑z = 260.
1.Подставим полученные суммы в выше приведенную систему уравне-ний:
(1) 2868 = 13а0+ 839а1 + 260а2,
(2) 185412 = 839а0+ 55869а1 +16609а2,
(3) 57737 = 260а0+16609а1 + 5458а2.
2.Решим систему, состоящую из первого и второго уравнений, для чего разделим первое уравнение на 13, а второе – на 839 и вычтем из второго первое:
220,9916 = а0+ 66,589 а1+ 19,7962 а2
-
220,6154 = а0+ 64,5385 а1 + 20а2
0,3762 = 2,0515 а1 – 0,2038а2
3. Чтобы получить второе уравнение с двумя неизвестными, решим систему, состоящую из первого и третьего уравнений, для чего разделим первое уравнение на 13, а третье на 260 и вычтем из третьего первое:
222,0654 = а0+ 63,8808 а1+ 20,9923 а2
-
220,6154 = а0+ 64,5385 а1 + 20а2
1,4500= — 0,6577а1+ 0,9923 а2
4. Решим систему двух получившихся уравнений с двумя неизвестными:
0,3762 = 2,0515 а1 – 0,2038а2
1,4500= — 0,6577а1+ 0,9923 а2
для чего разделим первое из них на 2,0515, а второе – на 0,6577 и, сложив полученные уравнения, найдем а2:
0,183378 = а1 – 0,099342 а2
+
2,20465 = -а + 1,50874 а2
2,388028 = 1,409398 а2
а2 = 1,694367
5. Подставляя значения а2 в первое уравнение из системы двух уравнений (пункт 4) с двумя неизвестными, определим а1:
0,3762 = 2,0515 а1 – 0,2038 х 1,6944;
а1 = (0,3762 + 0,3453)/2,0515 = 0,3517.
6. Подставляя в первое уравнение нашей начальной системы значения а1 и а2, найдем а0:
2868 = 13а0+ 839 х 0,3517 + 260 х 1,6944;
а0= (2868 – 295,0763 – 440,5440)/ 13 = 164,030.
7. Уравнение регрессии:
yxz = 164,030 + 0,3517x + 1,69436z.
8. Проверка: подставляя в первое уравнение начальной системы значения а0, а1 и а2, получим:
2868 + 13х 164,030 +839 х 0,3517 + 260 х 1,69436 = 2132,3900 + 295,0763 + 440,5336 = 2867,9999.
Очевидно, что коэффициенты а0, а1 и а2 определены правильно.
9. Ошибка уравнения множественной регрессии определяется по формуле:
где — ошибка теоретических значений функции у; ay, ax, az – коэффициенты уравнения множественной регрессии; N – объем ряда; n – число коэффициентов уравнения, включая свободный член.
Суммы отклонений ay, ax, az вычисляются по формулам:
Пользуясь данными табл.20, определяем средние арифметические рядов x, y, z по формуле
Мх = 839/13=64,5384; Му=2868/13 =220,615; Мz=260/13=20,0;
Подставляя найденные величины в формулы сумм отклонений
Определены все величины, необходимые для вычисления ошибки уравнения множественной регрессии по формуле:
Таким образом, по уравнению уxz= 164,030 +0,3517х +1,6944z, можно рассчитать массу 1000 семян, зная высоту растений и урожайность сои с ошибкой
Коэффициенты уравнения множественной регрессии можно найти и другими способами, например, через суммы квадратов и произведений отклонений от средней. При этом, несколько сокращается трудоемкость расчетов, так как позволяет оперировать с меньшими по абсолютной величине числами. Способ может применяться в любых случаях, но особенно он рекомендуется тогда, когда исходные данные представлены многозначными числами, а также когда одновременно желательно вычислить дисперсии, сигмы всех трех рядов и коэффициенты корреляции между ними. Рассмотрим технику вычисления, используя тот же пример, что и в первом способе (Табл. 22).
Таблица 22
Вычисление сумм для определения коэффициентов уравнения множественной регрессии (Зайцев, 1984)
| (х-Мх)2 | (у-Мy)2 | (z-Mz)2 | (х-Мх) (у-Мy) | (z-Mz) (у-Мy) | (х-Мх) (z-Mz) |
| 2,1374 | 467,42 | -31,608 | 86,48 | -5,848 |
Продолжение табл. 22
| 421,81 | 425,18 | 423,49 | 61,86 | 61,614 |
| 155,3 | 112,78 | -132,35 | 53,1 | -62,31 |
| 2,3654 | 74,304 | 13,258 | ||
| 6,4414 | 13,104 | 9,1876 | 3,62 | 2,538 |
| 71,605 | 6,8644 | -22,17 | 20,96 | -67,696 |
| 0,28944 | 6,8644 | 1,4096 | -7,86 | -1,614 |
| 89,529 | 5,6644 | 22,52 | 16,66 | 66,234 |
| 2,3654 | 19,184 | -6,7364 | -4,38 | 1,538 |
| 89,529 | 179,02 | 126,6 | 66,9 | 47,31 |
| 111,05 | 206,78 | -151,54 | 71,9 | -52,69 |
| 463,89 | 206,78 | -309,72 | 71,9 | -107,69 |
| 304,92 | 457,1 | 373,34 | -64,14 | -52,386 |
| 1721,2 | 2181,2 | 315,68 | -171 |
1. По данным табл. 19 вычислим средние арифметические для трех вариационных рядов: Му=220,62; Мх=64,538; Mz=20; и следующие суммы (табл.21):
2. Найдем вспомогательные величины:
3.Коэффициент при х равен:
0,35173.
4. Коэффициент при z равен:
5.Находим свободный член уравнения множественной регрессии:
таким образом, величины всех коэффициентов практически совпадают с полученными ранее. Используя суммы из табл.21, можно вычислить сигмы всех трех рядов и коэффициенты корреляции между ними по формулам:
Коэффициенты корреляции между этими признаками совпадают с величинами коэффициентов, вычисленными другими способами.
Оценку достоверности значений коэффициентов, или, точнее, оценку достоверности их отличия от нуля, можно произвести по формулам:
где и — величины критерия Стьюдента, сравниваемые с табличными значениями, при числе степеней свободы: — ошибка уравнения по формуле:
и суммы квадратов отклонений величин x и z;
rxz — коэффициент корреляции между рядами x и z. Величина критерия Стьюдента соответственно для коэффициентов а1 и а2 равна:
При числе степеней свободы и на 95% доверительном уровне t =2,228, что больше вычисленных значений. Следовательно, можно сделать заключение, что масса семян сои (у) существенно не зависит ни от средней высоты растений (х), ни от урожайности (z).