Лекция: Определенный интеграл

К понятию определенного интеграла подойдем из рассмотрения геометрической задачи.

Допустим, что некоторая функция задана в виде графика (см. рис.1 ). Поставим задачу: вычислить площадь криволинейной трапеции SABCD , которая образована графиком функции, осью aбсцисс и ординатами, восстановленными из точек х1 = a и хn = b,

Приближенно, значение искомой площади можно найти, разбив криволинейную трапецию на отдельные прямоугольники и сложив их площади. Основанием этих прямоугольников служат малые интервалы Dх1, Dх2 ,.., Dхn, а высотами — ординаты y1, y2 , y3 ,…, yn. Если основания D хi малы, то:

. (1)

Соотношение (1) выполняется тем точнее, чем меньше основания прямоугольников Dхi. Точное же значение искомой площади будет найдено при предельном переходе:

. (2)

Сумма, всех произведений уiDхi,, стоящая под знаком предела, называется интегральной суммой, а ее предел — определенным интегралом от функции y = f(x) на участке [a,b]. Значения а и b называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Из проведенного рассмотрения геометрической задачи следует:

1) Определенный интеграл имеет геометрический смысл площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и ординатами, восстановлеными из значений аргумента в пределах интегрирования.

2) Саму операцию интегрирования можно описать как сложение бесконечного большого количества бесконечно малых величин. Действительно, в формуле (2) при стремлении хi ® 0 каждое слагаемое yi хi ® 0 (т.е. является бесконечно малой величиной — каждый отдельный прямоугольник стремится выродиться в линию), но число этих слагаемых стремится к бесконечности.

Вычисление определенного интегралапроизводится с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

.

То есть, для нахождения определенного интеграла необходимо найти для подынтегральной функции f(x) первообразную F(x) и взять разность значений этой функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 1. Возьмем параболу у = х2 и поставим задачу: вычислить площадь S фигуры, образованной графиком параболы, осью х и ординатами, восстановленными из значений х1 = -1 и х2 = 2. На рис.4 эта искомая площадь заштрихована.

Задача сводится к нахождению определенного интеграла:

Пример 2. Скорость движения тела v = 3t2 — 2t (м/с). Какой путь S пройдет тело за 5 с от начала движения? Решение сводится к нахождению определенного интеграла
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ