Лекция: Нормальное распределение.

Нормальное распределение играет основную роль в математической статистике. Это ни в малейшей степени не является случайным: в объективной действительности весьма часто встречаются различные признаки, значения которых распределяются по нормальному закону. Если число дискретных событий возрастает, график на рисунке 3.2, представляющий разложение бинома (p+q)n, все более приближается к плавной кривой. Это приближение имеет место и для p = q, и для
p q. В последнем случае скошенность кривой при возрастании n уменьшается. При приближении n к бесконечности график кривой приближается к симметричной кривой. Пределом такого приближения биномиального распределения является нормальное распределение, выраженное формулой и графически изображаемое на рисунке 4.1. В этом качестве, а именно в качестве непрерывной формы для предела биномиального распределения, нормальное распределение было открыто для р = q в 1733 г. А. Муавром (Англия). Обобщение его для p q сделано П. Лапласом (Франция) и К. Гауссом (Германия) в начале XIX в. Это открытие привело во второй половине XIX века к особому подчеркиванию значения нормального «закона» как модели, которой следуют распределения результатов наблюдений во всех естественных явлениях. Английский ученый К. Пирсон в начале XX в. показал, что нормальное распределение является одним из многих типов распределений, имеющихся в природе. Значение нормального распределения вследствие этого снизилось в сфере наблюдений, но возросло в теоретическом отношении, особенно в области теории выборок.

Уравнение нормальной кривой выражает зависимость теоретических численностей f(x) или у от значений x – непрерывно распределяющейся случайной величины. Оно пишется в различных формах.

Выражение, являющееся основной формой, относится к кривой с площадью, равной единице:

(4.6)

В этом уравнении f(x) – теоретические численности, выраженные в долях единицы, или плотности вероятности случайного события x;
s – квадратическое отклонение данного нормального распределения; π и е известные константы, π = 3,1426, е = 2,7183, s – отклонение случайно распределенной величины X от средней арифметической m, являющейся центром распределения величины X.