Лекция: Непрерывные случайные переменные.

В противоположность дискретным случайным переменным, рассмотренным в предыдущем подразделе, совокупность возможных значений непрерывной случайной переменной не только не конечна, но и не поддается вычислению. Следовательно, если случайная переменная непрерывна, то она может принять любое действительное значение в некоторых пределах, конечных или бесконечных. Из приведенных определений дискретных и непрерывных случайных переменных видно, что существует соответствие между понятиями дискретных и непрерывных признаков в теоретической статистике и вероятностными понятиями дискретных и непрерывных случайных переменных. В математической статистике каждый наблюдаемый признак единиц исследуемой совокупности рассматривается как случайная переменная. Такое толкование возможно благодаря допущению, что статистические наблюдения как бы «случайно отобраны» из определенных совокупностей. В анализе распределений вероятностей случайных переменных применяется, так называемая, дистрибуанта или функция распределения случайной величины F(x). Это есть функция, выражающая вероятность того, что случайная переменная примет какое-то значение, меньшее x.

F(x) = P{X<x}

Поскольку функция распределения вероятности выражает вероятность некоторого случайного события, то любая (дискретная или непрерывная) случайная переменная удовлетворяет условию:

0≤F(x)≤1

Производная от функции распределения вероятности называется функцией плотности распределения вероятности f(x) или короче – плотностью вероятности

Ее можно истолковать, как среднее «количество вероятности», приходящееся на единицу длины интервала (х, х+Δх), когда длина этого интервала стремится к нулю. Если случайная переменная X непрерывна в каждой точке х, и если для каждого значения х существует производная, которая непрерывна, то случайная переменная X называется непрерывной случайной переменной.

Отметим теперь, что если случайная переменная может принимать значения в интервале (с, d), то всегда