Лекция: Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.

Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы тела m на приобретенное под действием силы ускорение а: F = ma.

Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:

(1)

Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:

(2)

Если известен конкретный характер действующей силы, то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).

Решениемдифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Пример. Решить уравнение: у’ — х = 0 (3)

Перепишем исходное уравнение в виде:

(4)

В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал — в другую.

Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, — поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:

(5)

При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С1 и С2 . Их следует объединить в одну постоянную С. Окончательно:

(6)

Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.

Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.

Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения — их называютначальными условиями.

Например: при х = 0у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постоянную С :

1= 0+ С ÞС = 1.

Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:

(7)