Лекция: ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛАХ

1.Первообразная функция и неопределенный интеграл

В элементарной математике сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня — примеры взаимообратных математических операций. Последовательно примененные к одному и тому же числу эти операции самого числа не изменяют.

(а + b — b= а, = а, = а).

Взаимообратные операции существуют и в высшей математике. Дифференцирование (нахождение производной) позволяет по некоторой заданной функции найти скорость ее изменения. Операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование — нахождение самой функции (первообразной) по заданной скорости ее изменения.

Функцию F(х) называют первообразной функции f(х), если для всех х из области определения функции F ¢ (х) = f(х) или dF(х) = f(х) dх.

Иными словами, первообразная функция — это такая, производной от которой является заданная.

Например, задана функция f (x) = 2х. Ее первообразной будет F(x) = х2, так как F ¢(х) = f(х) = 2х. Однако, F(х) = х2 + C, где C -произвольная постоянная, так же будет первообразной для f(х) = 2х, поскольку (х2 + С )¢ = 2х.

Совокупность всех первообразных функций для заданной функции f(х) называют неопределенным интегралом и обозначают:.