Лекция: Распределение редких событий (Пуассона).

Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. р ≠ q, биномиальное распределение асимметрично. При очень малой вероятности ожидаемого события, исчисляемой сотыми или тысячными долями единицы, по сравнению с вероятностью q противоположного события распределение вероятности или частоты таких событий описывается формулой Пуассона. Как известно, вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит равно m раз, определяется формулой, выражающей функцию распределения вероятностей для биномиального распределения. Примем теперь дополнительные условия, а именно, что вероятность р наступления случайного события в единичном испытании весьма мала, но число испытаний n весьма велико, n , а произведение nр (обозначим его λ) – число постоянное и не очень большое. При таких дополнительных условиях на основе формулы биноминального распределения получим следующее выражение для распределения вероятностей случайной переменной X:

(3.3)

где:λ = np; р = λ/n.

Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит nm, каждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:

(3.4)

При n предел любой дроби (1 – λ/n) = 1,

а предел (1 – λ/n)n-m =e-λ

При этих условиях:

(3.5)

Выражение (3.5) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона. В этом выражении m – частота ожидаемого события в n испытаниях, е = 2,7183; параметр λ = nр равен математическому ожиданию или наиболее вероятной частоте события,, а также дисперсии. Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения n, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (3.5) умножают на N – общее число наблюдений, вместо принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:

(3.6)

Распределение Пуассона с возрастанием средней X приближается к биномиальному. Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В биологии оно применяется как модель распределения числа семян сорняков – примесей в пробных навесках при анализе семян, поврежденных вредителем. Оно описывает также распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения, площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода р мала.