Лекция: Установим закон радиоактивного распада ядер атомов.
Для составленияисходного дифференциального уравнения обозначим N число нераспавшихся ядер атомов в данный момент времени t , N0 — число нераспавшихся ядер в начальный момент времени (t = 0). В процессе радиоактивного распада число N убывает. Обозначим через dN убыль нераспавшихся ядер за малый промежуток времени dt. Эта убыль, естественно,
пропорциональна промежутку времени dt и числу нераспавшихся ядер N:
dN = — l N dt , (13)
где l — постоянная радиоактивного распада. Знак “минус” в формуле (13) отражает тот факт, что число нераспавшихся ядер со временем уменьшается.
Решаяуравнение (13) методом разделения переменных с учетом начального условия (при t = 0N = N0 ) получим закон радиоактивного распада:
. (14)
Уравнение (14) описывает убывание количества нераспавшихся ядер за счет радиоактивного распада.
Допустим теперь, что некоторое количество радионуклидов одномоментно поступило в организм. Убыль (dN) нераспавшихся радиоактивных ядер в организме будет определятся двумя процессами: 1) физическим распадом ядер и 2) биологическим выведением радиоактивных веществ из организма. Дифференциальное уравнение, отражающее эти два процесса, будет иметь вид:
dN = — (l+lв) N dt, (15)
где lв — постоянная биологического выведения.
Решение уравнения (15) имеет вид:
N = N0e-(l+lв)t .(16)
Формула (16) представляет закон исчезновения радионуклидов из организма
при указанных условиях .
3.4. Рассмотрим внутривенное введение некоторого лекарственного веществачерез капельницу. Будем считать, что оно вводится в кровь с постоянной скоростью v (г/мин.), а выводится из крови со скоростью, пропорциональной ее количеству m, содержащемуся в крови на данный момент времени t. Поставим задачу: найти закон, определяющий зависимость количества лекарственного вещества в крови от времени, т.е. m = f(t). Задача сводится к нахождению вида функции m = f(t).
Изменение содержания лекарства в крови (dm) за малое время (dt) определяется его приростом за счет введения ( v dt ) и уменьшением за счет выведения (к m dt ). Постоянный коэффициент к характеризует интенсивность процесса утилизации .
Таким образом, необходимое для решения задачи дифференциальное уравнение имеет вид:
dm = v dt — к m dt. (17)
Начальное условие можно записать: при t = 0 m = m0, где m0 — имеющаяся в крови масса вещества до начала введения.
Для решения уравнения (17) необходимо произвести разделение переменных и последующее интегрирование:
(18)
При нахождении интеграла в левой части выполним замену переменных, обозначив v — кm = u:
(19)
Интеграл в правой части:
(20)
Приравняв левую и правую часть и объединяя постоянные, получим:
ln( v — кm ) = — кt + C. (22)
Начальное условие дает возможность определить постоянную С:
С = ln ( v — кm0 ). (23)
С учетом формулы (36) для решения задачи, получим логарифмическое уравнение: ln (v — кm) = — кt+ ln(v — кm0). (24)
Потенцирование выражения (24) приводит к результату:
(25)
После элементарных математических преобразований получим искомую зависимость содержания глюкозы в крови от времени:
. (26)
Графически эта зависимость показана на рис.6. Из закона (26) и рис.6 следует, что при длительном введении вещества (t ® ¥) его содержание в крови все равно не превысит некоторого максимального уровня, поскольку при t ® ¥ второе слагаемое формулы (26) обращается в нуль. Из рис.6 следует, что введение следует прекращать в момент времени t1 , поскольку после этого наступает, практически, эффект насыщения. Отмеченный на графике уровень m0 соответствует содержанию вещества в крови до начала введения.
Рассмотренные примеры касались количественного описания с помощью дифференциальных уравнений сравнительно простых явлений. Естественно, что рассмотрение более сложных задач требует и более сложного математического аппарата. Однако, использование математических методов для анализа процессов жизнедеятельности, изучения внешних воздействий на организм, разработки методов диагностики и лечения, — совершенно необходимо для понимания сущности этих явлений и имеет несомненную практическую значимость.