Лекция: Дорогие ребята! Данные задания направлены на подготовку к проверочной работе по теме «Рельеф Земли».

В нашем курсе считаем неопределяемыми три понятия:

1) множество; 2) элемент; 3) принадлежность.

Будем обозначать множества заглавными буквами, элементы множества – строчными, например, А – множество; a, b, c – элементы, при этом, если элементa принадлежит множеству A, пишем, если элемент c не принадлежит множеству A, пишем .

Задавать множества можно различными способами, например, перечислив все его элементы:, причем порядок записи элементов безразличен. Часто задают множество, указав его характеристическое свойство, которое для каждого элемента позволяет выяснить, принадлежит ли он множеству или нет, например:

B={xçx — целый корень уравнения},

C={ x — целое}.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения для числовых множеств: N — множество натуральных чисел, N={1,2,3,...}; Z — множество целых чисел, Z={...-2,-1,0,1,2,3,...}; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел.

Определим теперь два специальных множества.

Пустым множеством называется множество Æ, обладающее свойством: при любом x.

Универсальным множеством называется множество U всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Пример. В задаче: найти все решения уравнения — ответы будут разными в зависимости от того, какое множество рассматривается как универсальное. Если U=Z, то множество решений M=Æ; если U=R, то .

Будем говорить, что множество A включается во множество B , если каждый элемент множества A является элементом множества B. Из определения включения непосредственно следуют свойства:

1) для любого множества A;

2) если и, то ;

3) для любого множества A;

4) для любого множества A.

Подмножество называется собственным подмножеством множества B ( — строгое включение), если A не пусто и не совпадает с B. Например: .

На основе понятия включения можно определить равенство множеств: A=B тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два включения и, т.е.

(1.1)

Свойства равенства множеств:

1) для любого A справедливо A=A;

2) если A=B, то и B=A;

3) если A=B и B=C, то A=C.

Взаимное расположение множеств изображается с помощью диаграмм Эйлера-Венна, на которых универсальное множество изображается прямоугольником, а произвольные множества, являющиеся подмножествами универсального — кругами.

При этом возможны следующие случаи взаимного расположения двух множеств A и B:

1) одно из множеств строго включается в другое ( или );

2) множества равны;

3) множества не имеют общих элементов;

4) множества находятся в общем положении, т.е. не подходит ни один из вышеперечисленных случаев, а множества имеют общие элементы, не равны, и ни одно из них не является подмножеством другого.

Диаграммы Эйлера-Венна применяются для изображения операций над множествами.

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (заштрихуйте объединение множеств на рис.1.1, а). Пусть A={0,1,2}, B={-1,2,3}, тогда .

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B (заштрихуйте пересечение множеств на рис.1.1, б). Если A={0,1,2},B={-1,2,3}, то .

Разностью множества A и B называется множество A\B тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B (рис.1.2, а). Пример:

Дополнением множества A до универсального U называется множество (рис.1.2, б).

Симметрической разностью множеств A и B называется множество или. Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для симметрической разности.

Элементы множества могут сами быть множествами: A={{1,2},{2,3},{4,5,6}}, в таком случае удобно говорить о семействе множеств. Рассмотрим некоторые семейства множеств: булеан множества, покрытие, разбиение множества.

Булеаном B(X) множества X называется множество всех подмножеств множества X. Например, для множества X={0,1} булеаном является множество .

Разбиением R(X) множества X называется семейство его непустых непересекающихся подмножеств, в объединении дающая множество X, т.е. разбиение множества X есть множество такое, что: 1)

2)

3)

Например, для множества X={1,2,3,4,5} можно построить разбиение, состоящее из двух элементов — они называются блоками разбиения, или — из четырех блоков; возможны и другие разбиения.

Покрытием множества X называется система его непустых подмножеств, в объединении дающая множество X. Здесь отсутствует слово “непересекающаяся” — т.е. блоки покрытия могут иметь общие элементы. Пример покрытия для множества X={1,2,3,4,5}: .

Задача 1. Задано универсальное множество U={1,2,3,4,5,6,7} и множества X={2,4,6}, Y={1,3,5,7}, Z={2,3,5,6}. Выполнить действия: Построить булеан множества X, какое-либо разбиение множества Y, какое-либо покрытие множества Z.

Решение. Выполним операции над множествами в следующем порядке:

— по определению операции дополнения;

— по определению пересечения множеств;

— по определению объединения множеств.

Для построения булеана множества X воспользуемся двоичной записью числа. Если множество X содержит n элементов, его булеан содержит элементов – подмножеств множества Х (в нашем случае 8 подмножеств). Будем записывать номер подмножества трехразрядным двоичным числом от 0 до 7, включая в подмножество только те элементы, которым соответствуют единицы в записи двоичного числа. В табл.1.1 приведены построенные таким образом все подмножества множества X.

Таблица 1.1 Булеан множества X

Для множества Y построим разбиение из трех блоков где Проверим выполнение определения:

Для множества Z построим покрытие из двух блоков:

Здесь и следовательно, система — покрытие множества Z.

Операции над множествами так же, как операции в обычной алгебре, выполняются по законам (табл.1.2), которые доказываются на основе введенных выше определений.

Задача 2. Доказать закон дистрибутивности

(1.2)

Решение. Обозначим X левую часть равенства (1.2), Y — правую. Согласно определению (1.1) покажем, что выполняются одновременно

Пусть x — произвольная точка из Тогда по определению объединения множеств Далее по определению пересечения множеств Следовательно,

Таким образом, для любого выполняется т.е.

Докажем теперь, что Пусть y — произвольная точка из множества Тогда

В силу произвольности заключаем

Таким образом, и, следовательно X=Y, и закон дистрибутивности доказан.

Для упрощения записи формул договоримся о приоритете алгебраических операций: если в формуле нет скобок, то вначале выполняется операция дополнения, затем пересечения, объединения, разности. Например, в формуле действия будут выполняться так, как будто указаны скобки: — вначале пересечение, затем объединение, в последнюю очередь — разность.

Таблица 1.2 Законы алгебры множеств

Задача 3. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств:

Решение. Выполним преобразования, указывая номер закона (табл.1.2) над знаком равенства:

а)

б)

в)

Ответ:

Дорогие ребята! Данные задания направлены на подготовку к проверочной работе по теме «Рельеф Земли».

1.Сопоставьте физическую карту и карту строение земной коры. Приведите не менее трех примеров на каждый из видов связи:

А) платформы – равнины

Б) область древней складчатости – низкие горы

В) область средней складчатости – средневысотные горы

Г) область новой складчатости – высокие горы

2. Если рельеф территории равнинный, то в основании находится:

а) складчатая область;

б) платформа.

3. Элемент земной коры, изображенный на рисунке, находится в основании:

а) Восточно-Европейской равнины;

б) Гималаев;

в) Скандинавских гор

4.В зоне расхождения литосферных плит формируются:

а) срединно-океанические хребты;

б) глубоководные желоба.

5. Рассмотри рисунок. На какой схеме изображены складчатые, а на какой складчато-глыбовые горы? На какой — старые, на какой молодые? Обоснуй свою точку зрения

6.В зоне столкновения литосферных плит формируются:

а) срединно-океанические хребты;

б) глубоководные желоба.

7. Как различают горы и равнины по высоте?

8. Через какие горы проведены показанные на рисунке профили? Определи примерную широту, по которой проходит каждый из них. Какие географические объекты (вершины, долины рек и др.) ты узнал?