Лекция: Некоторые сведения из вариационного исчисления

Прежде всего, для дальнейшего понадобятся краткие сведения, касающиеся вариационного исчисления.

Вариацией функции переменной называется функция от, определяемая при каждом значении как разность новой функции и функции .

Таким образом, в отличие от дифференциала, который является главной частью приращения функции и зависит от вида заданной функции и изменения аргумента, вариация позволяет рассматривать отклонения различных функций от некоторой заданной функции. Отметим, что формально правила варьирования совпадают с правилами дифференцирования.

Функционалом, заданном на некотором множестве, называется отображение это множества в множество действительных чисел.

Множеством, на котором задан функционал может являться линейное нормированное пространство. Обозначим это пространство, а его элементы и напомним основные определения.

Линейным пространством называется множество, в котором определены операции сложения и умножения на действительные числа, удовлетворяющие следующим условиям для любых его элементов:

1) ;

2) ;

3) существует такой элемент, что ;

4) для любого найдется такой элемент, что ;

5) для любых действительных чисел и ;

6) ;

7) для любых действительных чисел и ;

8) для любого действительного числа .

Примерами линейных пространств являются векторное пространство, – пространство функций, непрерывных на отрезке, пространство – пространство функций, непрерывных на отрезке вместе со своей первой производной.

Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу поставлено в соответствие действительное число, называемое нормой элемента, причем выполняются следующие условия:

1) и тогда и только тогда, когда ;

2) для любого действительного и любого ;

3) для любых .

Указанные выше линейные пространства являются также и нормированными линейными пространствами. При этом, например, в пространстве функций, непрерывных на отрезке вместе со своей производной, можно рассматривать норму

.

Таким образом, функционал может быть задан на пространстве функций.

Функционал I достигает абсолютного минимума (максимума) на элементе, если для любого элемента выполняется неравенство

.

Множество называется открытым шаром радиуса с центром в точке .

Функционал I имеет относительный минимум (максимум) на элементе, если существует такой шар, что для всех выполняется неравенство

.

Пусть I – функционал, определенный на линейном нормированном пространстве. Рассмотрим функцию переменной. Если в некоторой точке при для любого элемента, то производная

. (6.47)

называется вариацией функционала I в точке и обозначается .

Необходимым условием существования экстремума функционала является равенство нулю вариации

для любого. (6.48)

Приведем еще необходимую для дальнейшего изложения основную лемму вариационного исчисления. Если функция непрерывна на отрезке и для любой непрерывной на функции выполняется

,

то тождественно равна нулю.

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Рассмотрим следующую простейшую задачу вариационного исчисления:

(6.49)

Найдем вариацию данного функционала. В соответствии с определением (6.47) вариация равна

.

Применим правило дифференцирования сложной функции и получим

(6.50)

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

Обозначим:, .

Тогда для второго из интегралов (6.50.) получим

(6.51)

Поскольку значения в точках и заданы, то функция на концах отрезка должна удовлетворять условиям. Подставим (6.51) (с учетом последнего замечания) в (6.50) и получим выражение для вариации функционала:

. (6.52)

Обратимся далее к необходимому условия существования экстремума функционала (6.48):

. (6.53)

Опираясь на основную лемму вариационного исчисления, получим из (6.53) уравнение Эйлера–Лагранжа:

. (6.54)

Уравнение (6.54) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение. Его решение, то есть функция, и является экстремалью задачи (6.49.).

В качестве примера решим с помощью уравнения Эйлера–Лагранжа решим задачу (6.46.), сформулированную в начале пункта 6.5. Для этой задачи:

,,, .

Подставим производные в уравнение (6.54):

.

Приведем последнее уравнение к общему знаменателю и получим

. (6.55)

Произведем замену:, .

Теперь (6.55) преобразуется к дифференциальному уравнению первого порядка:

.

Разделим переменные

. (6.56)

Интегрирование (6.56) приводит к выражению

, (6.57)

где – постоянная интегрирования. Поскольку, то из (6.57) получим уравнение:

. (6.58)

Уравнение (6.58) приводит к интегралу

. (6.59)

Сделаем подстановку (где – гиперболический косинус, ). Учтем тождество (где – гиперболический синус, ), а также то что .

Тогда получим

. (6.60)

Теперь можно выразить через и получить уравнение кривой

. (6.61)

Постоянные и определяются с помощью условий на концах отрезка. Так, в случае,, постоянная, и искомая кривая задается функцией (рис. 6.8). Проблема определения минимальной поверхности нередко возникает при решении физических и технических задач.

Рис. 6.8. Пример поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси, .

Данный раздел представляет собой введение в методы математической оптимизации. Каждый из пунктов данного раздела может быть значительно расширен с учетом имеющейся в настоящее время учебной и научной литературы. Кроме того, имеется ряд направлений методов оптимизаций, не затрагивающихся при изложении настоящего раздела, например, теория оптимального управления; математические методы, позволяющие описать самоорганизацию в технических системах и др. Авторы пособия, однако, надеются, что изложенный материал познакомит читателя с основами методов математической оптимизации и позволит ему в дальнейшем использовать полученные знания как для решения конкретных задач, так и в качестве фундамента для постижения более сложных проблем оптимизации, возникающих при решении инженерных задач.