Лекция: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Будем рассматривать функции многих переменных f =f(x1, …, xn) как функции, заданные в точках х n-мерного евклидова пространства Еn: f=f(х). Точки х Î Еn представляют векторами-столбцами координат: x = (х1 ,… ,хn)T, где символ «Т»— знак транспонирования*.

Перечислим основные определения и из курса линейной алгебры, которые будут использованы в дальнейшем:

1. В пространстве Еn определены следующие операции:

· сложение х + у = (x1 + y2, …, xn + yn)

· умножение на действительное число lх = (lx1, …, lxn) l ÎR;

· скалярное произведение<х, у> = с известными свойствами .

2. Напомним определение длины (нормы) вектора х:

и расстояния между векторами xи у (точками пространства Еn):

Для норм произвольных векторов х, у ÎЕn справедливо неравенство треугольника

. (3.1)

Скалярное произведение оценивается по модулю неравенством Коши- Буняковского

. (3.2)

3. Остановимся на основных понятиях, связанных с числовыми матрицами.

Матрица A = (аi j ), i = 1, .., т; j= 1, …, n, представляет собой прямоугольный массив (таблицу) чисел, состоящий из т строк и п столбцов. Таким образом, вектор-столбец х является матрицей размера n´1.

Матрица AT = (аi j ), которая получается из матрицы A = (аi j ), если поменять местами ее строки и столбцы, называется транспонированной по отношению к матрице A.

Квадратная матрица A называется симметрической, если AT=A. Матрицы одинакового размера A = (а i j ) и B = (а i j ) можно складывать: A + В= (а i j + b i j ).

Результатом умножения матрицы A на число l, является матрица lA =(lа i j ).

Произведением Aх матрицы A = (а i j ) размера m´ n на вектор-столбец х´Emназывается вектор-столбец b Î Em, координаты котoрого вычисляют по формуле i=l,..,m, где — вектор коэффициентов i-й строки матрицы A.

Для матриц A = (а i j ) и B = (b k l ) соответственно размера m´ n и n´ r определено произведение AB = С =(c s t ), где элемент c s t матрицы С размера m´ r определяется равенством .

Можно показать, что (AB)T = BTAT .

Если рассматривать n -мерные векторы-столбцы х и у как матрицы размера n´ 1, то формулу для их скалярного произведения можно получить по правилу умножения матриц хT и у :

. (3.3)

Заметим, что для х и у Î En произведение х×уT задает квадратную матрицу:

. (3.4)

Если A — квадратная симметрическая матрица размера n´ n, то для любых векторов х и у Î En <Aх, у>=<х,Aу>, так как <Aх, у>= (Aх)Tу = xTATy= xTAy =<х, Aу > .

Каждой квадратной матрице размера n´ n можно поставить в соответствие число — определитель матрицы A (обозначается detA или |A|), которое вычисляют по формуле

где алгебраическое дополнение Ai j элемента Ai j определяется соотношением Ai j = (-1)i+jMi j (минор — это определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца). Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Для каждой невырожденной матрицы A существует обратная матрица А-1 = (ai j ) такая, что А-1А =А А-1= Е, где Е — единичная матрица (e i j ):

Элементы обратной матрицы могут быть найдены по формуле

где А i j — алгебраическое дополнение элемента a i j матрицы А.

4. Пусть А = (a i j ) — симметрическая матрица размера п ´ п. Тогда функция п переменных h1,.., hn, Q(h) = = <Ah, h > называется квадратичной формой этих переменных, а матрица A — матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма Q(h) называется положительно определенной, если для всех h ¹ 0 имеет место неравенство Q(h) > 0.

Из курса линейной алгебры известен критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма Q(h)=<Ah,h> была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица A = (a i j ) была положительно определена, т.е. все ее угловые миноры были положительными:

(3.5)

5. Ненулевой вектор x, для которого Ax = lx, называется собственным вектором квадратной матрицы A, а число l — соответствующим ему собственным значением этой матрицы.

Собственные значения находят из характеристического уравнения det(A — lE) = 0. Если li — собственное значение матрицы А, то нетривиальное решение однородной системы линейных уравнений (A-liE) x=0 дает соответствующий ему собственный вектор. Собственные значения симметрической положительно определенной матрицы А положительны, и существует ортонормированный базис в Еn из собственных векторов x1, .., xn матрицы А. В этом базисе матрица А имеет диагональный вид: на ее главной диагонали стоят собственные значения l1, ..., ln, а на остальных местах — нули.