Лекция: СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Учебный материал для подготовки:

В обиходе широко используется десятичная арифметика, а в вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. В десятичной системе счисления для записи чисел используют цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – это система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Пример: римская система счисления.

VI – шесть.

IV — четыре.

Позиционная система счисления — это система, в которой значение цифры определяется ее положением в числе, или один и тот же знак принимает различные значения.

Пример:

222 – двести двадцать два в десятичной системе счисления.

Любая позиционная система счисления характеризуется оcнованием.

Основание позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.

Пример:

0,1 – двоичная система счисления(основание два);

0,1,2,3,4,5,6,7 – восьмеричная система счисления(основание

восемь);

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F – шестнадцатеричная система

счисления(основание шестнадцать).

Каждое целое число в любой позиционной системе счисления записывается в соответствии со следующей формулой:

A =, где ai — цифра в данной системе счисления

hi – разряд числа, hi = pi;

p — основание системы счисления;

n — количество цифр в записи числа( или количество степеней

основания системы счисления, участвующих в записи числа)

n-1 есть старшая степень основания системы счисления для записи

числа

Пример

2 1 0

35810 = 3 × 102 + 5 × 101 +8 ×10

а2а1а0

3 2 1 0

77348 = 7 × 83+ 7 ×82 + 3 × 81 + 4 × 8

а3а2а1а0

4 3 2 1 0

101102 = 1 × 24 +0 ×23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 ×2

а4а3а2а1а0

Здесь над записью числа для каждой его цифры указана соответствующая степень основания системы счисления.

Перевод целого положительного числа из десятичной системы в другую систему счисления осуществляется путем последовательного выделения в числе степеней основания системы счисления, в которую необходимо перевести число, начиная с наибольшей степени.

Таким образом, запись числа в новой системе счисления будет представлять собой запись коэффициентов при всех степенях основания системы, составляющих это число. Самая правая цифра имеет весовое значение p0, следующая цифра влево- p1, следующая – p2 и так далее, где p — основание системы счисления.

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

23910 — ?2

23910 = 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 =

= 1 × 27+ 1 ×26+ 1 × 25+ 0 ×24+ 1 × 23+ 1 ×22+ 1 ×21+ 1 ×2

7 6 5 4 3 2 1 0

Ответ: 23910 = 1 1 1 0 1 1 1 12

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

23910 — ?8

23910 = 192 + 40 + 7 = 3 ×82+ 5 ×81+ 7 ×8

2 1 0

Ответ: 23910 = 3 5 78

Пример:

перевести число 239 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

23910 — ?16

23910 = 224 + 15 = 14 ×161+ 15 ×16

1 0

Ответ: 23910 = E F16

Шестнадцатеричная система включает в себя “цифры” от 0 до F. При этом 1010 = A, 1110= B, 1210 = C, 1310 = D, 1410 = E, 1510 = F.

Ниже, в таблице 2.1 приведены коды первых шестнадцати положительных чисел в различных системах счисления.

Таблица 2.1

Перекодировка из одной системы счисления в другую выполняется быстро, если основания этих систем счисления являются степенями числа 2.

Пример:

перевести число 111011112 из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

1 1 1 0 1 1 1 12 — ?8 1 1 1 0 1 1 1 12 — ?16

Разобъем двоичное число справа налево на трехбитовые и четырехбитовые цепочки (23 — восемь, 24 — шестнадцать).

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

E F 16 3 5 78

Так же легко будет осуществить обратный перевод чисел. Для этого

символы восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представляются в виде двоичных чисел (см. табл.) и записываются по порядку.

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны.

В частности, для двоичной системы счисления, сложение выполняется следующим образом

+ 0 +0 +1 + 1

0 1 0 1

____ ____ ____ ______

0 1 1 10

Примеры:

+1 1 0 0 0 1 ( 4910) + 1 1 0 1 0 1 ( 5310)

1 0 1 1 1 0 ( 4610) 0 1 0 1 1 0 1 ( 4510)

_________________ ____________________

0 1 0 1 1 1 1 1 ( 9510) 0 1 1 0 0 0 1 0 ( 9810)

Представленные выше двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого (старшего ) разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде и выражаются двоичным дополнением. Таким образом, для представления отрицательного двоичного числа необходимо получить двоичный код его абсолютной величины, инвертировать все биты этого кода и прибавить 1.

Пример:

0 1 0 0 0 0 0 1 ( +6510 — двоичный код абсолютной

величины)

1 0 1 1 1 1 1 0 ( инверсия числа, или обратный код )

плюс 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ( -6510 в дополнительном коде)

Если вычисления были правильными, сложение дополнительного кода отрицательного числа с двоичным кодом абсолютной величины этого числа должно давать нули во всех значащих разрядах.

Для последнего примера : +65 и — 65. Сумма должна составить ноль.

0 1 0 0 0 0 0 1 ( +6510)

1 0 1 1 1 1 1 1 ( -6510)

________________

(1) 0 0 0 0 0 0 0 0

Все восемь бит имеют нулевое значение.

Двоичное вычитание выполяется просто: вычитаемое переводится в дополнительный код и два числа складываются.

Пример: найти разность чисел 65 и 42.

4210 = 1 ×25 + 0 ×24 +1 ×23 + 0 ×22 + 1 ×21 + 0 × 20= 1 0 1 0 1 02

0 0 1 0 1 0 1 0 ( +42)

1 1 0 1 0 1 0 1 ( обратный код, или инверсия числа )

(плюс1) 1 1 0 1 0 1 1 0 ( -42)

(код +65 ) + 0 1 0 0 0 0 0 1

(код — 42 ) 1 1 0 1 0 1 1 0

________________

( 23 ) (1) 0 0 0 1 0 1 1 1

Задание1

Значения a, b, c, d определить по таблице А.1 приложения А в соответствии с вариантом.

Примечание: проверку результатов можно осуществить путем перевода всех чисел в десятичную систему счисления.

Задание2

Ответить на тестовые вопросы