Лекция: УНИМОДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Если функция f(x) на множестве U имеет, кроме глобального, ло­кальные минимумы, отличные от него, то минимизацияf(x), как правило, сильно затрудняется. В частности, многие методы поиска точки миниму­ма f(x) приспособлены только для функций, у которых каждый локаль­ный минимум является одновременно и глобальным. Этим свойством об­ладают унимодальные функции.

Определение 2.1. Функция f(x) называется унимодальной на от­резке [а; b], если она непрерывна на [а; b] и существуют числа a и b,, такие, что:

1) если а < a, то на отрезке [a; a] функция f(x) монотонно убывает;

2) если b < b, то на отрезке [b; b] функция f(x) монотонно возра­стает;

3) при х Î [a; b] f(x) =f* = .

Множество унимодальных на отрезке [а; b] функций мы будем обозначать через Q[а; b].

Отметим, что возможно вырождение в точку одного или двух отрезков из [a; a], [a; b] и [b; b]. Некоторые варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции показаны на рис. 2.1.

Из определения 2.1 вытекают следующие основные свойства уни­модальных функций:

1. Любая из точек локального минимума унимодальной функции является и точкой ее глобального минимума на отрезке [а;b].

2. Функция, унимодальная на отрезке [а;b], является унимодаль­ной и на любом меньшем отрезке [с; d] [а;b].

3. Пусть f(x) Q[а;b] и. Тогда:

если, то x* [a; x2];

если, то x* [x1; b],

где х* — одна из точек минимума f(x) на отрезке [a; b].