Лекция: Аксиомы алгебры логики.

1. — закон двойного отрицания.

2. X Y=Y X — коммутативный закон для умножения

3. X (Y Z)=X Y Z — сочетательный закон для умножения

4. X X=X — закон тождества для умножения

5. 1 X=X — закон умножения на единицу

6. 0 X=0 — закон умножения с нулем

7. X Y=Y X — коммутативный закон для сложения

8. X (Y Z)=(X Y) Z — сочетательный закон для сложения

9. X X=X — закон тождества для сложения

10. 1 X=1 — закон сложения с единицей

11. 0 X=X — закон сложения с нулем

12. X (Y Z)=X Y X Z — первый распределительный закон

13. X Y Z=(X Y) (X Z) — второй распределительный закон

14. X X Y=X

15. X (X Y)=X — законы поглощения

16.

17. — законы де Моргана (инверсии)

18. X =1 — закон исключенного третьего

19. X =0 — закон противоречия.

Обозначение функциональных узлов

Функциональную схему логического устройства получают в результате абстрактного синтеза, который состоит из следующих этапов:

1. словесная формулировка функций логического устройства

2. составление таблицы истинности по словесной формулировке

3. запись логического уравнения устройства в виде СДНФ или СКНФ

4. минимизация логического уравнения

5. выбор одного из логических базисов

6. преобразование логического уравнения с использованием правил де Моргана

7. построение функциональной схемы логического устройства

Пример:

1. синтезировать логическое устройство на три входные переменные генерирующее сигнал 1 на выходе, если две рядом стоящие переменные из трех принимают значение 1

2. таблица истинности

3.

4.

5. принять для реализации схемы логического устройства базис и-не

6.

3 Найти кратчайшее расстояние от точки А(0; 1) до прямой y=2x+3, используя методы вариационного исчисления

I способ. Аналитический.

y=2x+3 -> 2x-y+3=0, тогда нормальный вектор к данной прямой n={2: -1}

пусть Р – основание перпендикуляра, тогда уравнение прямой РА, перпендикулярной исходной прямой будет иметь вид

Определим координаты точки Р

т.к. Р точка пересечения двух прямых решив систему, найдем ее координаты

х/2+у=1

у=2х+3

х=-4/5

у=7/5

теперь найдем искомое расстояние АР

АР=

II способ геометрический

AP(искомое расстояние) перпендикулярно MN

тр-ик MNO подобен тр-ику MPA -> MN/MA = NO/AP -> AP=NO*MA/MN

MA=2 NO=1.5 MN=

AP=0.4

III способ. Оптимизационный

Запишем функцию расстояния от точки до прямой и любым методом оптимизации (например, сканирование, метод золотого сечения)

y=2*x+3

s=sqrt(x^2+(2x+3-1)^2)=sqrt(x^2+4*(x+1)^2)=sqrt(5*x^2+8*x+4);

s’=(10*x+8)*0.5/ sqrt(5*x^2+8*x+4)= (5*x+4)/sqrt(5*x^2+8*x+4)=0; следовательно x=-0.8;

s=sqrt(0.8)= 0.4

Уравнение Эйлера (численный)

Элементарное DS расстояние между двумя точками на плоскости, координаты которых отличаются на dt и dx, равно:

Выполним некоторые преобразования:

Расстояние между двумя точками на плоскости выразится интегралом:

Задача сводится к нахождению экстремального значения интеграла при условии, что левый конец точка А(0,1), а правый прямая x=2t+3. Таким образом, в нашем случае имеем Y(t)=2t+3.

Для составления уравнения Эйлера запишем:

Уравнение Эйлера имеет вид x''=0. Общее решение уравнения Эйлера: x=C1t+C2.

Условия трансверсальности имеют вид Т.к. x'=C1, получим: Уравнения в данном случае принимают вид С1t0+C2=x0, C1t1+C2=2t1+3. В результате имеем систему уравнений:

Þ

Из системы С2=1. Необходимо найти t1,C1

.