Лекция: Взаимодвойственные задачи.
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Пусть предприятие №1 производит видов продукции и использует видов сырья. Известна прибыль, получаемая с единицы продукции,. Известны технологические коэффициенты,, Требуется организовать производство так, чтобы предприятию была обеспечена максимальная прибыль.
Таблица 6.1
Исходные данные
Цены на ресурсы | Запасы сырья | Продукция |
П1 | П2 | Пn |
Прибыль с единицы продукции |
Запишем в общем виде экономико-математическую модель задачи об использовании ресурсов. Для этого введём переменные, – количество продукции j-го вида. Тогда ограничения на сырье запишутся в виде
(6.1)
Целевая функция, определяющая максимум прибыли, имеет вид
; (7.2)
, .
По этим же исходным данным сформулирую задачу по предприятию №2.
Допустим, предприятие №2 решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие №1. В этом случае предприятию №2 необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий:
1) общая стоимость ресурсов для предприятия №2 должна быть минимальной;
2) за каждый вид ресурса предприятию №1 надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получить при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.
Обозначу цены, по которым предприятие №2 покупает ресурсы у предприятия №1, через,. Запишу экономико-математическую модель для предприятия №2 с учётом вышеуказанных условий 1) и 2).
Целевая функция, определяющая минимальную суммарную стоимость ресурсов, имеет вид
. (6.3)
В соответствии с условием 2) запишем систему ограничений:
(6.4)
Сравню математические модели задач (6.1), (6.2) и (6.3), (6.4):
1) число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи;
2) матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путём транспортирования;
3) неравенства в системах ограничений имеют противоположный смысл;
4) свободные члены системы ограничений одной из задач становится коэффициентами целевой функции другой задачи, коэффициенты целевой функции превращаются в свободные члены ограничений;
5) целевые функции в задачах имеют противоположный смысл: в первой – максимум, во второй – минимум.
Задачи линейного программирования, обладающие пятью указанными формальными признаками, называются симметричными. Одна из них называется основной, а другая – двойственной.
В линейном программировании кроме симметричных двойственных пар существуют не симметричные двойственные пары, которые имеют следующий вид:
основная задача
(6.5)
; (6.6)
, ;
двойственная задача
(6.7)
(6.8)
Эти задачи отличаются от симметричной пары двумя особенностями:
1) ограничения задачи (6.5) – (6.6) выражены уравнениями вместо неравенств;
2) в задаче (6.7) – (6.8) отсутствуют условия не отрицательности переменных, .