Лекция: В позиционных системах счисления

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием используется следующий алгоритм (см. раздел 1.4):

§ целое число делится на с остатком, остаток от деления запоминается. Полученное частное вновь делится на, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на выписываются в порядке, обратном их получению;

§ дробное число умножается на, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть опять умножается на и т. д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо бесконечная -ичная дробь.

Пример 1. Перевести данные числа из десятичной системы счисления в двоичную, пятеричную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему:

а); б) .

В разделе 1.4 приведены схемы перевода чисел из десятичной системы в любую -ичную систему. Запишем эту схему в столбик, одновременно переводя целую и дробную часть числа.

а)

б)

Обратный перевод чисел из -ичной системы счисления в десятичную основан на формуле (1.4.2).

Пример 2. Перевести в десятичную систему числа, полученные в п. а) примера 1.

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, причём в целой части числа группировка производится от запятой справа налево, а в дробной – слева направо. Если в последней группе недостаёт цифр, дописываются нули: в целой части – слева, в дробной – справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Пример 3. Переведём число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

; ;

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Таблицы сложения и умножения в двоичной и восьмеричной системе приведены в разделе 1.4 (табл. 1.1 и 1.2); в шестнадцатеричной системе они имеют следующий вид (см. табл. 1.5 и 1.6).

В -ичных системах счисления все арифметические действия происходят точно так же, как и в десятичной системе. Например, при сложении цифры одинаковых разрядов суммируются, и если при этом возникает избыток (переполнение разряда), то он переносится, то он переносится влево в следующий разряд.

Таблица 1.5

Таблица 1.6