Лекция: Метод гармонической линеаризации нелинейностей.

МГЛ предназначен для приближенного определения параметров периодических решений нелинейных САР (НСАР) любого порядка. Рассматриваемый метод является мощным средством исследования НСАР в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Вообще-то имеются определенные ограничения применения МГЛ, однако для большинства НСАР они несущественны.

Пусть нелинейный элемент НСАР описывается выражением Y=F(x) (1), где F – любая нелинейная функция. На вход этого элемента поступает гармонический сигнал

(2)

Тогда (3). Обозначено .

Разложив выходной сигнал (1) при учете (2) в ряд Фурье, получим (4)

Для часто встречающихся случаев постоянная составляющая разложения в ряд Фурье отсутствует (5)

Положив из (2) и (3) и, формулу(4) при условии (5) можно записать в виде (6) для неоднозначных нелинейностей и (7) для однозначных.

Итак, нелинейное выражение (1) при заменяется выражением (6) или (7), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Здесь коэффициенты гармонической линеаризации

(8)

постоянны при постоянном «а» (а – амплитуда входного гармонического сигнала).

Физический смысл гармонической линеаризации состоит в следующем. Рассмотрим сначала однозначную нелинейность (7) и опустим из рассмотрения высшие гармоники. Это выражение ≈ заменяет нелинейную характеристику Y=F(x) прямой линией Y=q(a)x в диапазоне изменения амплитуды от –a до +a. При другой амплитуде входного сигнала a1, будет другой коэффициент q(a1) и, значит, другой наклон прямой линии (чем больше «a», тем меньше угол наклона). Отличие от обычной линеаризации (которая была в I ч. ТАУ), в том, что при обычной линеаризации наклон прямой был постоянен при любом входном сигнале, а при гармонической линеаризации входной сигнал – гармоника и угол наклона зависит от амплитуды этой гармоники.

Для неоднозначных нелинейностей (см. (6) без учета высших гармоник) первое слагаемое правой части также характеризует замену нелинейной характеристики Y=F(x) прямой линией Y=q(a)x с наклоном, зависящим от амплитуды «a» выходного гармонического сигнала. Второе же слагаемое, зависящее от q’(a) (которое всегда отрицательно), означает, что фаза сигнала на выходе гармонически линеаризованного элемента будет отставать от фазы на входе. Величина этого отставания тоже зависит от «a».