Лекция: Отношение строгого упорядочения

Минимальным требованием, предъявляемые к БО для выбора, является асимметрия. Это БО называется отношением строгого упорядочения. Строгое упорядочение асимметрично и антирефлексивно.

Данное отношение все же не может обеспечить качественный выбор, например оно не полно и даже не является слабополным. Последнее означает, что некоторые пары не попали в БО и эксперт не смог их сравнить.

У этого может быть 3 причины:

1-я. он считает, что они неразличимы,

2-я. он не уверен, что одна из альтернатив превосходит другую,

3-я. он считает, что они несравнимы.

Пары, не попавшие в асимметричное отношение, тоже определяют БО. Такое отношение называется отношением безразличия или отношением толерантности.

,

где Р – отношение строгого упорядочения, I – индуцированное им отношение толерантности.

Объединив пары P и I, получим отношение не строгого упорядочения:

,

оно уже, по крайней мере, слабополно.

Свойства отношения толерантности.

· Отношение, которое включает те и только те пары множества X, которые не попадают в отношение R называются дополнительными по отношению к R:

.

· Отношение, дополнительное к обратному, называется двойственным по отношению к R:

.

Теорема:

Отношение строгого упорядочивания P и не строгого упорядочивания R образуют двойственную пару: .

Теорема: