Лекция: Представить алгоритм метода конечных разностей решения уравнения

В методе конечных разностей область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным множеством точек. Значение функции заменяется значением так называемой сеточной функции, определенной на этом множестве аргументов.

Задание двухточечной краевой задачи имеет вид:

u’’(x)+q(x)u(x)=f(x), u(a)=ua, u(b)=ub.

Её решение сводится к решению системы алгебраических уравнений вида:

u0=ua;

-ui-1+ui(2+h2qi)-ui+1=h2fi;

un=ub,

где i от 1 до n-1, h — задаваемый шаг.

Данную систему решают чаще всего методом прогонки, который предназначен для решения систем вида:

b0u0+c0u1=d0;

aiui-1+biui+ciui+1=di, i от 1 до n-1;

anun-1+bnun=dn.

Метод прогонки состоит из прямого и обратного хода. На прямом ходе вычисляются прогоночные коэффициенты:

α0=-c0/γ0, β0=d0/γ0, γ0=b0;

αi=-ci/γi, βi=(di-aiβi-1)/γi, γi=bi+aiαi-1, i от 1 до n-1;

βn=(dn-anβn-1)/γn, γn=bn+andn-1.

Значения функции вычисляются на обратном ходе:

un=βn;

ui=αiui+1+βi, i от 0 до n-1.

Решив систему методом прогонки, получают значения функции в узлах сетки.

int n=(int)(10.0/h), m=(int)(5.0/dh)+1;

for (i=0; i<n; i++)

{F[i][0]=15+1/(0.1*dh*i+0.1);

F[i][n]=26.6*cos(dh*i);

}

for (i=0; i<m; i++)F[0][i]=25-5*y;

for (j=1; j<m-1; j++) for (i=0; i<n; i++)

F[i][j+1]=(a*F[i][j-1]-F[i-1][j]+ F [i+1][j] – dh*dh*4*dh*i*dh*j)/a