Лекция: Предмет теории игр.
Теория игр – это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределённости. При этом конфликт не обязательно должен быть антагонистическим, в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.
Рассмотрим следующий экономический пример. Пусть требуется принять решение о выпуске на рынок некоторого товара. Может случиться, что объём спроса на этот товар известен точно; может быть, что известно лишь статистическое распределение возможных значений спроса; наконец, может оказаться, что известны лишь границы, в которых заключен спрос, но ни каких даже вероятностных соображений о его предстоящих значениях нет. Последний случай квалифицируется как неопределённость. Такая неопределённость может возникнуть, когда спрос (например, на сезонные товары) зависит от метеорологических условий (конфликт с природой) или в условиях рынка от деятельности конкурента, уже удовлетворившего неизвестную часть спроса. Приведённые примеры при определённых условиях могут быть приведены к игре.
Всякая теоретико-игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также, кто и в какой форме заинтересован в том или ином исходе конфликта.
Действующие в конфликте стороны называются игроками, а решения, которые способны принимать игроки, стратегии.
Содержание математической теории игр состоит, во-первых, в установлении принципов оптимального поведения игроков в играх, во-вторых, в доказательстве существования ситуации, которые складываются в результате применения этих принципов, и, в-третьих, в разработке методов фактического нахождения таких ситуаций.
Для игр с одной коалицией действия множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий этой единственной коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать. По этому такие игры называются нестратегическими, важным классом которых являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределённых фактов окружающей среды, именуемых «природа». Поэтому термин «природа» характеризует некоторую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации в которых игроком действительно может выступить природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
В отличие от нестратегических игр, все остальные игры с двумя или более коалициями действия называются стратегическими. В практических ситуациях часто появляется необходимость согласования действий компании, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В подобных ситуациях теория стратегических игр позволяет найти оптимальное решение для поведения всех участников проекта, обязанных согласовывать свои действия при столкновении интересов.
Далее будут рассмотрены матричные игры. Под матричной игрой понимается такая игра двух игроков, при которой каждый игрок имеет конечное число возможных ходов – чистых стратегий. При этом выигрыш одного игрока и проигрыш другого при применении ими определённых чистых стратегий выражается числом. Перечисленные условия позволяют записать стратегии в матрицу
(1.1)
где – равен выигрышу первого (будем обозначать его А) и проигрышу второго (игрока В) при применении ими i-й и j-й чистых стратегий соответственно.
Задачей теории игр является определение оптимальных стратегий игроков. В матричной игре оптимальной для игрока А называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает максимально возможный средний выигрыш, а для игрока В под оптимальной понимается стратегия, обеспечивающая ему минимальный средний проигрыш. При этом предполагается, что противник является по меньшей мере таким же разумным и делает всё для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.