Лекция: Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования.

Рассмотрю процесс построения математической модели задачи линейного программирования на примерах.

Пример (п.3.1)

Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготовляет два вида продукции – П1 и П2, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используют два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и П2 дан в табл. 3.1.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Таблица 3.1

Расход сырья на единицу продукции

Сырьё	Расход сырья на ед. продукции	Запас сырья, ед.
П1	П2
А В

Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. – для П1 и 4 д. е. для П2.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы.

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничении должны быть наложены на переменные, чтобы выполнились условия, характерные для модулируемой системы?

3. В чём состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так: фирме требуется определить объёмы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д. е. от реализации продукции, с учётом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели остаётся только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных. Предположим, что предприятие изготовило единиц продукции П1 и единиц продукции П2. Поскольку производство продукции П1 и П2 ограничено имеющимися в распоряжении предприятия с сырьём каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывается, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

Доход от реализации единиц продукции П1 и единиц продукции П2 составит .

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция принимает максимальное значение .

Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.

Пример (п.3.2)

Использование мощностей оборудования.

Предприятие имеет моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: T – время работы каждой машин; продукции j-го вида должно быть выпущено не менее Njединиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции и стоимость единицы времени, затрачиваемого j-й машиной на выпуск j-го вида продукции .

Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции, обеспечивающие минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин T и заданному количествупродукции Nj.

По условию задачи машины работают заданное время Т, поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде:

,. (3.9)

Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:

,. (3.10)

Задача решается на минимум затрат на производство:

. (3.11)

Необходимо также учесть не отрицательность переменных .

Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведённое время работы машины, т.е. обеспечить полную загрузку машины. При этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть по крайней мере не менее Nj. Однако в некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:

,; (3.12)

,; (3.13)

;

(3.14)

Пример (п.3.3)

Минимизация дисбаланса на линии сборки.

Промышленная фирма производит изделие, представляющее сборку из различных узлов. Эти узлы изготавливаются на заводах.

Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна. Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течении недели для производства узлов, равного величине .

Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

В данной задаче требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство j-го узла на i-м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы j-го завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Пусть – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе для производства узла. Тогда объёмы производства узла будут следующими:

,. (3.15)

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объём производства которых минимален:

. (3.16)

Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на фонд времени, которым располагает завод .

Таким образом, математическая модель может быть представлена в следующем виде.

Максимизируем

; (3.17)

,; (3.18)

для всех и .

Эта модель не является линейной, но её можно привести к линейной форме с простого преобразования. Пусть – количество изделий:

. (3.19)

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка: максимизировать при ограничениях

,; (3.20)

,; (3.21)

для всех и; .

Пример (п.3.4)

Задача составления кормовой смеси, или задача о диете.

Пусть крупная фирма (Условно назову ее «Суперрацион») имеет возможность покупать различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов).

Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удовлетворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с очки зрения с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством фирмы стоит задача определить количество каждого i-го сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательности.

Решение

Введём условные обозначения:

– количество i-го сырья в смеси;

– количество видов сырья;

– количество ингредиентов в сырье;

– количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья;

– минимальное количество ингредиента j, содержащегося в единице смеси;

– стоимость единицы сырья I;

– минимальный общий вес смеси, используемый фирмой.

Задача может быть представлена в виде

, (3.22)

при следующих ограничениях:

на общий расход смеси:

; (3.23)

на питательность смеси:

,; (3.24)

на не отрицательность переменных:

,. (3.25)

Пример (п.3.5)

Задача составления жидких смесей.

Еще один класс моделей, аналогично рассмотренных выше, возникает при решении экономической проблемы, связанной с изготовлением смесей различных жидкостей с целью получения пользующихся спросом готовых продуктов.

Представим себе фирму, торгующую различного рода химическими продуктами, каждый из которых является смесью нескольких компонентов. Предположим, что эта фирма планирует изготовление смесей m-видов. Обозначим подлежащее определению количество литров i-го химического компонента, используемого для получения j-го продукта через. Будем предполагать, что

,, .

Первая группа ограничений относится к объёмам потребляемых химических компонентов:

,, (3.26)

где – объём i-го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.

Вторая группа ограничений отражает требование, заключающееся в том, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов, т.е.

,. (3.27)

где – минимальный спрос на продукцию в течение планируемого периода.

Третья группа ограничений связана с технологическими особенностями, которые необходимо принимать во внимание при приготовлении смеси, например простое ограничение, определяемое некоторыми минимально допустимыми значениями, отношение между объёмами двух химических компонентов в процессе получения продукта :

или. ,

где – некоторая заданная константа.

Обозначим через доход с единицы продукции, запишем целевую функцию:

. (3.28)

Пример (п.3.6)

Задача о раскрое или минимизации обрезков.

Данная задача состоит таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы (по длине, площади, объёму, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

Например, продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны других размеров, для этого производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров могут включать видов шириной. Известна потребность в нестандартных каждого вида, она равна. Возможны различных вариантов построения технологической карты раскроя рулонов стандартной ширины на рулоны длиной .

Обозначим через количество рулонов i-го вида, получаемых при раскрое единицы стандартного рулона по j-му варианту. При каждом варианте раскроя на каждый стандартный рулон возможны потери, равные. К потерям следует относить также избыточные рулоны нестандартной длинны, получаемые при различных вариантах раскроя, .

В качестве переменных следует идентифицировать количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при j-м варианте раскроя. Определим переменную следующим образом: – количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту, .

Целевая функция – минимум отходов при раскрое

(3.29)

Ограничение на удовлетворение спроса потребителя

,,. (3.30)

Пример (п.3.7)

Многостойный коммерческий арбитраж.

В сфере деятельности, связанной с валютными и биржевыми операциями, а также коммерческими сделками контрактного характера, возможны различные рода трансакции, позволяющие извлекать прибыль на разнице в курсе валют. Такого рода трансакции называются коммерческим арбитражем.

Представим себе коммерсанта (условно назовём его N), имеющего возможность реализовать многосторонний коммерческий арбитраж. Предположим, что число валютных рынков, вовлечённых в трансакционную деятельность коммерсанта N, равняется шести, а максимальное число возможных трансакций равняется девяти. Подробные данные характеризующие рассматриваемую задачу, приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Многосторонний коммерческий арбитраж

Валютный номинал	Тип трансакции	Возмож- ность рынка
I II III IV V VI
Размер трансакции

При трансакции продажа единицы валютного наминала (ценных бумаг) II позволяет приобрести валютного наминала I. При трансакции взамен единицы валютного наминала I можно получить единиц валютного наминала III и валютного наминала VI. Остальные трансакции расшифровываются аналогично. Значения могут быть дробными. Заметим, что при любой трансакции каждый из валютных номиналов можно обменять на валютный номинал I. Следует обратить внимание на правило выбора знака перед показателями в табл. 3.2. Чтобы отличить куплю от продажи, буду соответственно использовать знаки «плюс» и «минус» перед показателями, характеризующими данную трансакцию.

Рассмотрим идеализированный случай, когда все трансакции коммерсанта N выполняются одновременно. Ограничения определяются единственным требованиям – трансакция возможна лишь при условии, если коммерсант N располагает наличными ценными бумагами. Другими словами, количество проданных ценных бумаг не должно количество приобретённых. Данные ограничения имеют вид

Пусть целевая функция представляет собой чистый доход, выраженный в единицах валютного номинала I, т.е. задача состоит в том, чтобы

Пример (п.3.8)

Транспортная задача.

Имеет три поставщика и четыре потребителя однородной продукции. Известны затраты на перевозку груза от каждого поставщика каждому потребителю. Обозначим их,. Запасы грузов у поставщиков равны. Известны потребности каждого потребителя. Будем считать, что суммарные потребности равны суммарным запасам:

Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты при полном удовлетворении потребностей.

Введу переменную – количество груза, перевозимого от i-го поставщика j-му потребителю.

Ограничения задачи выглядят следующим образом:

· потребности всех потребителей должны быть удовлетворены полностью:

(3.31)

или в общем виде:

· груз от поставщика должен быть вывезен полностью:

(3.32)

или в общем виде:

, ;

· условие не отрицательности переменных:

,, .