Лекция: Пример решения задачи
Условие: Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфаб-риката: x1 тыс. л. алкилата, x2 тыс. л. крекинг-бензина, x3 тыс. л. бензина прямой перегонки и x4 тыс. л. изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А (а1: а2: а3: а4), бензин В (b1:b2:b3:b4) и бензин С (с1: с2: с3: с4). Стоимость 1 тыс. л. бензина каждого сорта равна y1 руб, y2 руб и y3 руб. Определить соотношение компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.
x1 | x2 | x3 | x4 | y1 | y2 | y3 | а1 | а2 | а3 | а4 | b1 | b2 |
b1 | b2 | c1 | c2 | c3 | c4 |
Решение:составим математическую модель задачи. Обозначим через t1 количество бензина А, через t2 количество бензина В, через t3 количество бензина С. Тогда, целевая функция будет:
L=y1×t1+ y2×t2+ y3×t3=120×t1+100×t2+150×t3 →max
Система ограничений:
Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования (введем новые переменные t4, t5, t6, t7, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами):
Выберем t1, t2 ,t3 свободными переменными, а t4, t5 ,t6 ,t7 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:
L=0-(-120t1-100t2-150t3)
Составим симплекс – таблицу.
Это решение опорное, так как все свободные члены положительны. В связи с тем, что все коэффициенты в целевой функции отрицательные, то можно взять любой столбец разрешающим (например, t1). Выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально, в данном случае это t7 (таблица № 1).
Т а б л и ц а № 1 – Симплекс-таблица
b | t1 | t2 | t3 | |||||
L | -120 | -100 | -150 | |||||
t4 | 400/2=200 | |||||||
-100 | -1 | -1 | -3 | |||||
t5 | 250/3=83,3 | |||||||
-150 | -1,5 | -1,5 | -4,5 | |||||
t6 | 350/5=70 | |||||||
-250 | -2,5 | -2,5 | -7,5 | |||||
t7 | 100/2=50 | |||||||
0,5 | 0,5 | 1,5 |
Далее меняем t2 и t1 (таблица № 2).
Т а б л и ц а № 2 – Измененная симплекс-таблица
b | t7 | t2 | t3 | |||||
L | -40 | |||||||
t4 | -1 | -1 | 300/2=150 | |||||
-200 | -2 | -4 | -6 | |||||
t5 | -1,5 | -0,5 | -2,5 | |||||
0,5 | -4,5 | |||||||
t6 | -2,5 | -0,5 | -6,5 | |||||
0,5 | -7,5 | |||||||
t1 | 0,5 | 0,5 | 1,5 | 50/0,5=100 | ||||
1,5 |
Т а б л и ц а № 3 – Итоговая симплекс-таблица
b | t7 | t1 | t3 | ||||
L | |||||||
t4 | -3 | -4 | -7 | ||||
t5 | -1 | -1 | |||||
t6 | -2 | -5 | |||||
t2 | |||||||
Так как коэффициенты при переменных в целевой функции положительны, следовательно, это оптимальное решение.
Таким образом, t1=t3=0; t2=100; L=10000. Делаем вывод, что для получения максимальной прибыли следует производить только бензин В (100 тыс. л.), при этом выручка составит 10000 рублей.