Лекция: Пример решения задачи

Условие: Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфаб-риката: x1 тыс. л. алкилата, x2 тыс. л. крекинг-бензина, x3 тыс. л. бензина прямой перегонки и x4 тыс. л. изопентана. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: бензин А (а1: а2: а3: а4), бензин В (b1:b2:b3:b4) и бензин С (с1: с2: с3: с4). Стоимость 1 тыс. л. бензина каждого сорта равна y1 руб, y2 руб и y3 руб. Определить соотношение компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

Решение:составим математическую модель задачи. Обозначим через t1 количество бензина А, через t2 количество бензина В, через t3 количество бензина С. Тогда, целевая функция будет:

L=y1×t1+ y2×t2+ y3×t3=120×t1+100×t2+150×t3 →max

Система ограничений:

Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования (введем новые переменные t4, t5, t6, t7, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами):

Выберем t1, t2 ,t3 свободными переменными, а t4, t5 ,t6 ,t7 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:

L=0-(-120t1-100t2-150t3)

Составим симплекс – таблицу.

Это решение опорное, так как все свободные члены положительны. В связи с тем, что все коэффициенты в целевой функции отрицательные, то можно взять любой столбец разрешающим (например, t1). Выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально, в данном случае это t7 (таблица № 1).

Т а б л и ц а № 1 – Симплекс-таблица

Далее меняем t2 и t1 (таблица № 2).

Т а б л и ц а № 2 – Измененная симплекс-таблица

Т а б л и ц а № 3 – Итоговая симплекс-таблица

Так как коэффициенты при переменных в целевой функции положительны, следовательно, это оптимальное решение.

Таким образом, t1=t3=0; t2=100; L=10000. Делаем вывод, что для получения максимальной прибыли следует производить только бензин В (100 тыс. л.), при этом выручка составит 10000 рублей.