Лекция: Сжимающее отображение.

Понятие с.о. позволяет решать вопрос о сходимости итерационного процесса аналитически, а не геометрическими построениями.

Возьмем непрерывную j(x), заданную на отрезке [a;b]. Каждой т. x Î [a;b] соответствует y=j(x) на оси ординат.

Т.е. функция j(x) задает отображение отрезка [a;b] на оси ординат. Чтобы сравнить образ отрезка с самим отрезком необходимо отобразить точки на оси Оy через прямую y=x на ось Оx. Если образ отрезка [a;b] является частью [a;b], то j(x) отображает [a;b] в себя. Построим последовательность [a;b]; [a;b]; [a;b] и т.д. Если после каждого отображения отрезок уменьшается в М>1 раз, то отображение называется сжимающим.

Расстояние между двумя т. x1 и x2=|x2-x1|. Условие сжатия формулируется: отображение j(x) является сжимающим на отрезке [a;b], если существует 0<x<1 и для любых двух точек x1, x2 Î[a;b] выполняется неравенство: |j(x2)- j(x1)| <a |x2-x1|, a = 1/М.