Лекция: Сведение задачи линейного программирования к матричной игре.

Имеет место и обратное: всякую задачу линейного программирования можно свести, точнее пару двойственных задач, можно свести к матричной игре, т.е. указать такую матрицу выигрыша, что решение соответствующей ей игры будет эквивалентно решению данной пары двойственных задач линейного программирования.

Отмечу, что задача (7.4) имеет и непосредственный экономический: к ней сводится оптимизация плана выпуска продукций в заданном ассортименте.

Пусть имеется режимов работы некоторого оборудования с фондом полезного времени для выпуска продуктов; за I час работы в режиме выпускается продукта. Требуется максимизировать выпуск продукции в заданном ассортименте, причём, один ассортиментный набор содержит продукта .

Решение. Обозначая через R искомое количество ассортиментных наборов и через затраты времени на работу в режиме i, получаем задачу.

Найти вектор и число R, удовлетворяющие условиям

, (7.18)

, (7.19)

, (7.20)

. (7.21)

Полагая,,, сведём задачу (7.18) – (7.21) к виду (7.4):

. (7.22)

Следовательно, матрица выигрышей имеет вид. К задачам (7.4) – (7.4), а следовательно, (7.8) – (7.9) и (7.10) – (7.11), сводятся некоторые варианты задачи минимизации времени выполнения заданной программы выпуска.

Приложение теории игр в принципе возможно во всех областях человеческой деятельности, где наблюдается конфликты или же принятие решений происходит в условиях неопределённости. Практическое же составление теоретико-игрвых моделей часто затруднительно, так как выявление между ситуациями не всегда имеет объективные основания и связано с общей проблемой измерений величин в экономике, психологии и т.д. Вместе с тем качественные выводы, даваемые теорией игр, на основе использования приближённых или условных данных могут принести большую пользу.

Заключение.

В наше время достаточно часто решения приходиться принимать в условиях неопределённости, то есть, а таких условиях, когда или процесс выполнения операции является неопределённым, или нам сознательно противодействует противник, или нет ясных и чётких целей операций.

Наличие неопределённости значительно усложняет процесс выбора эффективных (оптимальных) решений и может привести к не предсказуемым результатам. На практике, при проведении экономического анализа, во многих случаях пытаются не замечать указанное «зло», вызванное фактором неопределённости и действуют (принимают решение) на основе детерминированных моделей. Иначе говоря, предполагается, что факторы, влияющие на принимаемые решения, известны точно. К сожалению, действительность часто не соответствует таким представлениям. Поэтому политика выбора эффективных решений без учета неконтролируемых факторов во многих случаях приводит к значительным потерям экономического, социального и иного содержания.

Рассматривая неопределённость, которая является наиболее характерной причиной риска в экономической деятельности, необходимо отметить, что выделение и изучение её применительно к процессу экономической, управленческой, финансовой и других видов деятельности является крайне необходимым, поскольку при этом отображается практическая ситуация, когда нет возможности осуществлять перечисленные виды деятельности в условиях, которых не могут быть однозначно определены.

В целом ряде экономических задач приходиться анализировать ситуации, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, то есть, например, возникают ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, каждая из которых преследует свою цель, причём, результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какие действия предпримет противник. Это особенно характерно в условиях рыночной экономики. Такие ситуации называются конфликтными. Научно обоснованные методы решения задач с конфликтными ситуациями даёт теория игр.

Теория игр – это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределённости, противоположных интересов различных сторон, конфликта. Матричные игры могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики. В частности, теория игр применяется в вопросах борьбы фирм за рынки в явлениях олигополии, в планировании рекламных компаний, при формировании цен на конкурентных рынках, в биржевой игре, в анализе коалиционного поведения и т. д. С позиции теории игр можно рассматривать вопросы централизации и децентрализации управления производством, оптимальное планирование по нескольким показателям, планирование в условиях неопределённости, порождаемой, например, техническим прогрессом, преодоление ведомственных противоречий и другие вопросы.

Среди задач математического программирования самыми простыми (и лучше всего изученными) являются так называемые задачи линейного программирования. Характерно для них то, что показатель эффективности (целевая функция) W линейно зависит от элементов решения x1, x2, …, xn. И ограничения, налагаемые на элементы решения, имеют вид линейных равенств или неравенств относительно x1, x2, …, xn.

Такие задачи довольно часто встречаются на практике, на пример, при решении проблем, связанных с распределением ресурсов, планированием производства, организацией работы транспорта и т. д. Это и естественно, так как во многих задачах практики «расходы» и «доходы» линейно зависят от количества закупленных или утилизированных средств (например, суммарная стоимость партии товаров линейно зависит от количества закупленных е единиц; оплата перевозок производится пропорционально весам перевозимых грузов и т. д.).

Разумеется, нельзя считать, что все встречающиеся на практике типы зависимостей линейны; можно ограничится более скромным утверждением, что линейные (и близкие к линейным) зависимости встречаются часто, а это уже много значит.

Таким образом, моя работа подошла к логическому завершению, в ней я рассматривал процесс сведения матричной игры к задаче линейного программирования, в работе видны не только возможности, но и ограниченности математических методов, применяемых для основания решений. Главное – ни один из этих методов необходимости думать. Но не просто думать, а пользоваться при этом математическими расчётами, помня, что, по меткому выражению Хемминга, – «главная цель расчётов – не цифры, а понимание».

Список литературы

1. Е. С. Вентцель. Исследование операций. Задачи, принципы методология: учеб. для вузов – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа. 2006. – 206, [2] с.: ил.

2. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

3. Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделирование экономических систем: Учеб. пособие.– 2-е изд.; перераб. доп. – М.: Финансы и статистика 2008. – 232 С.: ил.

4. Карпелевич Ф. И., Садовский Л. Е. Элемементы линейной алгебры и линейного программирования. М.: Наука, 1967.

5. Зуховидский С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. – М.: Наука, 1964.

6. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. — М., 2003.

7. Вентцель Е. С. Элементы теории игр. – М. Физматгиз, 1969.

8. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. – М. Физматгиз, 1960.

9. Льюс Р. Д., Райфа Х. Игры и решения. – М.: Иностранная литература, 1961.

10. Красс М.С., Чупрынов Б.П. ”Основы математики и ее приложения в экономическом образовании”, Издательство “Дело”, Москва 2001г.

11. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

12. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Нау-ка», 1980 г.

13. Чеснокова О. В. Delphi 7. Алгоритмы и программы. – М.: Пресс, 2008. – 368 С.: ил.