Лекция: Устойчивость линейных непрерывных систем. Критерий устойчивости Найквиста.

Если разомкнутая САР неустойчива, то среди корней ее характеристического уравнения есть т правых корней. Тогда согласно принципу аргумента получим

Чтобы замкнутая САР была устойчивой, надо чтобы ее характеристическое уравнение имело бы все корни левые, следовательно, согласно принципу аргумента:

Множитель 2л обозначает, что вектор f(jω) совершает вокруг начала координат полный оборот.

Тогда критерий Найквиста для неустойчивых разомкнутых систем при учете (IV.3. 9) может быть сформулирован следующим образом:

Для устойчивости замкнутой САР при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой CAP Wp(jω), начинаясь на действительной оси, при росте частоты ω от 0 до ∞ охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении т/2 раз, где т -число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САР.

Пусть Wp(jω) имеет вид, изображенный на рис. IV.1.6, охватывает точку (-1,j0) в положительном направлении 1 раз, т.е., поэтому m=2.

Если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня, система в замкнутом состоянии устойчива. Для Wp(jω), изображенной на рис. IV.16, наличие у характеристического уравнения разомкнутой системы числа правых корней не равных 2, означает неустойчивость замкнутой САР.

Часто из-за наличия местных обратных связей АФХ разомкнутой САР совершает несколько оборотов вокруг точки (-1,j0) и имеет достаточно замкнутую конфигурацию (рис. IV.17).

Здесь подсчитывать число оборотов Wp(jω) вокруг точки (-1, j0) затруднительно. Для подобных случаев видный советский ученый Я. 3. Цыпкин предложил удобную методику, базирующуюся на понятиях положительного и отрицательного переходов.

Переход амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой CAP Wp(jω) ростом частоты отрезка действительной оси (-∞;-1] сверху вниз называется

положительным (+), а снизу в верх — отрицательным (-).

Тогда критерий Найквиста в формулировке Цыпкина предстает в следующем виде: Замкнутая САР устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна, где т — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. IV.17 изображен случай, когда имеется два положительных и один отрицательный переход, т.е.

и, значит, если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня (только в этом случае!), то замкнутая САР устойчива. Подчеркнем еще раз, что при подсчете переходов исследуется только тот участок (-∞;-1] и не принимается во внимание остальная часть действительной оси.

Сейчас мы рассмотрим случай IV. 3. 3. 2 для неустойчивой разомкнутой САР. Однако, вышеприведенная формулировка Цыпкина критерия Найквиста применима к случаю IV.3. 3. 1, т. е. для устойчивой разомкнутой САР (рис. IV. 18).

На рисунке изображена АФХ разомкнутой системы, имеющая 1 положительный и 1 отрицательный переходы. По Цыпкину

таким образом, система будет устойчива, если разомкнутая система тоже устойчива, т.е. имеет т=0 правых корней своего характеристического уравнения, а это и есть случай IV. 3.3.1.

Идентификация статических объектов. Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент.

Идентификация статических объектов. Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент.

Планирование эксперимента

Большинство научных исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и т.д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может проводиться как на самом объекте так и на модели. Модель, как известно, может отличаться от реального объекта масштабом, а иногда природой (пример).

Так что же такое эксперимент? Под экспериментом будем понимать совокупность действий, к которым приходится обращаться, чтобы задавать объекту управления интересующие нас вопросы. Эта совокупность может быть очень сложной, но её всегда можно разложить на отдельные элементы, каждый из которых называется опытом. Существуют и другие определения эксперимента. Одним из возможных путей повышения эффективности исследований является применение математических методов — построение математической теории планирования эксперимента.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленных задач с требуемой точностью.

При этом существенно следующее:

1) стремление к минимизации общего числа опытов;

2) одновременное варьирование всеми переменными, определяющими
процесс, по специальным правилам — алгоритмам;

3) использование математического аппарата, формализующего многие
действия эксперимента;

4) выбор чёткой стратегии, позволяющей принимать обоснованные
решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента (ПЭ), чрезвычайно разнообразны:

1) поиск оптимальных условий;

2) построение интерполяционных формул;

выбор существенных факторов;

3) уточнение констант теоретических моделей.

Задачи поиска оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие условия его реализации.

Задачи, сформулированные таким образом, называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Выбор оптимального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на её получение — все это примеры задач оптимизации. Эксперимент, который ставится для решения задачи оптимизации — называется экстремальным.

Примеры.

Для описания объекта исследования удобно воспользоваться понятием «черного ящика»:

X2 Y2

Xn Уm

Рис.1

Каждый из факторов может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Каждый фактор имеет определенное число дискретных уравнений. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний черного ящика. Если перебрать все возможные выборы состояний, то получим полное множество различных состояний данного ящика (объекта исследований). Одновременно это будет число возможных различных опытов. Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов возвести в степень числа факторов:, где р — число уравнений.

Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым.

На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость эксперимента и являются причиной её нарушения. Если требования воспроизводимости не выполняются, приходится обращаться к активно-пассивному эксперименту.

Планирование эксперимента — это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, т.е. для решения поставленной задачи.

Результаты эксперимента используются для получения математической модели объекта исследований, которая представляет собой уравнение, связывающее, например, оптимизации и факторы. Такое уравнение называют функцией отклика.

Параметр оптимизации

При планировании экстремального эксперимента очень важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Сделать это совсем не просто, как кажется на первый взгляд. Цель исследования должна быть сформулирована очень четко и допускать количественную оценку. В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть очень разнообразными.

Введем некоторую классификацию параметров оптимизации рис.2. Параметр оптимизации — это признак, по которому оптимизируется процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Его необходимо уметь измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, которые может принимать П.О., будем называть областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции — это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови — это примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Рис.2 Классификация параметров оптимизации

Уметь измерять параметр оптимизации — это значит располагать подходящим прибором. В некоторых случаях такого прибора может не существовать либо он слишком дорог. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится воспользоваться приемом, называем ранжированием (ранговым подходом). При этом П.О. присваиваются оценки — ранги по заранее выбранной шкале: 2х бальной, 5й бальной и т.д. ранговый П.О. имеет дискретную ограниченную область определения. Ранг — это количественная оценка П.о., но она носит условный (субъективный) характер. П.О. должен быть:

1) эффективным с точки зрения достижения цели;

2) универсальным;

3) количественным и выражаться одним числом;

4) статически эффективным (точные измерения);

5) имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым;

6) однозначным.

Факторы

После того как выбран объект исследования и П.О., нужно включить в рассмотрение все существующие факторы, которые влияют на процесс. Если какой-либо существующий фактор не учтен, то это может привести к неприятным последствиям. Чем больше факторов, то тем больше опытов необходимо провести, так как. Если число факторов больше 15, нужно обратиться к методам отсеивания несущественных факторов.

Выводы:

1. Факторы — это величины, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект. Они определяют как сам объект, так и его состояние. Требования к факторам: управляемость и однозначность. Управлять фактором — это значит установить нужное значение и поддерживать его постоянно в течение опыта или менять по заданной программе. В этом состоит особенность активного эксперимента.

2. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

3. Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования. Трудно управлять фактором, если он является функцией других переменных, но в планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы, такие, как логарифмы, соотношения и т.д. Факторы должны быть определены операционально.

4. Требования к совокупности факторов: совместимость и отсутствие
линейной корреляции. Выбранное множество факторов должно был
достаточно полным. Если какой-то существенный фактор пропущен — это приводит к неправильному определению оптимальных условий или к большой ошибке опыта. Ф. могут быть количественными и качественными.

5. Точность фиксации Ф. должна быть высокая, степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

Выбор модели

Модели бывают разные, их бывает много. Чтобы выбрать одну из них надо понять, что мы хотим от модели, какие требования к ней предъявляем. Главное требование к модели — это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Жела­тельно, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и ко­ординаты выполненных опытов, предсказанные с помощью модели значения функции отклика не должно отличаться от фактического больше чем их некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Разработаны специальные статистические методы проверки адекватности модели. При выборе математической модели, при прочих равных условиях, будем предполагать степенные ряды, т.е. отрезки степенных рядов — алгебраические полиномы.

В качестве примера запишем модель в форме полинома для 2х факто­ров. Полином нулевой степени:

Полином первой степени:

Полином второй степени:

Полный факторный эксперимент

Перед планированием эксперимента необходимо определить область эксперимента, учитывая при этом следующие соображения:

1. Прежде всего, надо оценить границы областей определения Ф. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип: принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если Ф. — температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип — ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (стоимость сырья, время процесса и т.д. Третий тип ограничений, с
которыми чаще всего приходится иметь дело, определяются конкретными условиями проведения процесса (технологией, существующей аппаратурой и т.д.).

2. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. И информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (при­ мерные графики, таблицы).

Выбор основного уровня

Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информа­ции соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

В разных случаях мы располагаем различными сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области. На рис.2. Изображена область определения для 2х факторов. Кружком отмечены наилучшие условия, известные из априорной информации. Чтобы правильно выбрать основной уровень следует пользоваться блок-схемой рис. 4.

Рис.2

Рис.4 Блок-схема принятия решений при выборе основного уровня

Выбор интервалов варьирования.

После того, как определен основной уровень каждого Ф., необходимо выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Один из этих уровней считается верхним, а второй нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верх­ний, а вычитание — нижний уровни фактора, т.е. интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между основным и верхним либо нижним уровнями. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Отметим еще, что для упрощения записи условий эксперимента и об­работки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования:, где Xj — кодирование значений Ф., — натуральное значение Ф.

-натуральное значение основного уровня.

— интервал варьирования.

j — номер фактора

Пример:

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные огра­ничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой эксперимент фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний и нижний уровни оказались за пределами области определения.

При решении задачи оптимизации необходимо выбрать для первой се­рии экспериментов такую область, которая давала бы возможность для шаго­вого движения к оптимуму. В задачах интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область.

Выбор интервалов варьирования — задача трудная, т.к. она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента. Возникает вопрос, какая априорная информация может быть полезна на данном этапе? Это — сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факто­ров, о кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оп­тимизации. Обычно эта информация является предварительной на первом этапе планирования эксперимента. В ходе эксперимента её приходится кор­ректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Кроме того, для интервалов вводится градация — широкий, средний и узкий интервалы варьирования.

Дополнительно: Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. При числе уровней каждого фактора равного 2, имеем П.Ф.Э. типа. В табл.1. для со­ответствующего значения k указано требующее число опытов N .

Таблица 1.

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки со­ответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Будем на­зывать такие таблицы матрицами планирования эксперимента (МПЭ). МПЭ для факторов приведена ниже.

Вектор столбец

Вектор строка

Существует несколько приемов записи МПЭ. Воспользуемся наиболее удобным: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через 2, в третьем — через 4, в четвертом — через 8 и т.д.

Отметим ряд свойств, которыми обладает МПЭ. В данном случае мы возьмем те свойства, которые определяют качество модели, а это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, т.к. заранее не ясно, куда предстоит двигаться в по­исках оптимума.

Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них — симметричность относительно центра эксперимента — алгебраическая сумма элементов вектор столбца каждого фактора равна нулю, или, где j- номер фактора, N – число опытов, j=1,2,…,k.

Второе свойство — так называемое условие нормирование — формулиру­ется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов т.е. Первые 2 свойства вытекают из отдельных столбцов МПЭ. Теперь отметим свойства, вытекающие из совокупности столбцов.

Третье, сумма почленных произведений любых 2х вектор столбцов МПЭ равных нулю:. Это важное свойство называется ортогональностью МПЭ.

Четвертое, последнее свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра экс­перимента и не зависит от направления.

Вернемся к матрице 22. для движения в точке оптимума воспользуемся линейной моделью. Наша цель — по результатам эксперимента найти коэффициент модели. В данном случае эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что модель адекватна, где — истинные значения соответствующих неизвестных, a — оценки. Коэффициенты модели вычисляются по очень простой формуле, j=0,1,2,…,k.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факто­ров. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет значок «+», то с увеличением зна­чения фактора параметр оптимизации увеличивается, если «-», то уменьшается.

Планируя эксперимент, на 1-ом этапе стремимся получить линейную модель. Однако нет гарантии в том, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. А в случае, если модель нелинейна? Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня на котором находится другой фактор, т.е. присутствует эффект взаимодействия 2-х факторов. П.Ф.Э. позволяет качест­венно оценить эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения 2х факторов.

Реализация плана эксперимента

К проведению опытов необходимо тщательно подготовиться, собрать опытную установку, проверить и прокалибровать приборы, подготовить ис­ходное сырье, составить специальный журнал. Журнал оформляют в соответствии с методикой и планом опытов так, чтобы была ясна последовательность действий. На первой странице описывают цель исследований, параметр оптимизации и факторы с указанием их размерности. Желательно перечислить все факторы, которые могут служить
характеристиками процесса и указать, какая между ними существует корреляция. После этого необходимо перечислить основные факторы, указать их уровни и интервалы варьирования в виде таблицы. Целесообразно в рабочей матрице планирования проставлять не только кодовые значения факторов, но и натуральные. В рабочей матрице планирования необходимо оставить место для столбцов, в которых отмечаются даты постановки опытов и фамилий экспериментаторов. Затем, необходимо тщательно подготовить регистр, и измерить аппаратуру и сырье (оно должно быть однородным). Все
измерения и расчеты сохраняются в журнале до окончания работы (описание технологии, описание экспериментальной установки).

Ошибки параллельных опытов

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментальных данных. Постановка повторных (парал­лельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и следует оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех результатов. Среднее арифметическое Y равно сумме всех m отдельных результатов, делённой на количество параллельных опытов m

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического можно представить как разность, где — результат отдельного опыта. Нали­чие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений по­вторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют дисперсию. Дисперсия обозначается S2 и выражается формулой:

где (т -1) — число степеней свободы. Одна степень свободы использована для вычисления среднего (СКО):

Необходимо отметить, что наличие среди повторных опытов резко отличаю­щихся результатов (грубых ошибок) может вызвать нарушение закона нор­мального распределения. Поэтому грубые наблюдения следует исключать, а затем рассчитывать среднее арифметическое и S2. Необходимо помнить, что даже такая простая операция, как вычисление среднего, требует определенных условий, в данном случае нормального распределения.

Как правило, ошибка опыта является суммарной величиной, результа­том многих ошибок: ошибок измерения факторов, параметра оптимизации и т.д. Все ошибки принято разделять на 2 класса: систематические и случайные.
Схематическое изображение компонент ошибок измерений представлено на рис. 8.

Рис.8 Схематичное изображение компонент ошибки измерений

Для выявления грубых ошибок используют критерий Стьюдента: .

Значение t берут из таблицы t-распределения Стьюдента. Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение t по модулю больше таблич­ного значения.

Дисперсия параметра оптимизации

При подсчете дисперсии параметра оптимизации квадрат разности ме­жду значением Y в каждом опыте и средним значением из m повторных наблюдений нужно просуммировать по числу опытов в матрице N, а затем разделить на N(m — 1):

(7)

Такой формулой можно пользоваться в случаях, когда число повторных опы­тов одинаково во всей матрице. Для 2-х повторных опытов формула принимает вид

(8)

В дисперсию воспроизводимости проще считать при равенстве повтор­ных опытов. В случае, когда число повторных опытов неодинаково (отброс грубых наблюдений) приходится пользоваться средним взвешенным значе­нием дисперсий, взятым с учетом степеней свободы.

, (**)

где — дисперсия 1-го опыта, — дисперсия 2-го опыта и т.д.

-число степеней свободы в 1-ом опыте, равном числу параллельных опытов m минус 1.

, и т.д.

Формулами (7) и (9) можно пользоваться только в том случае, если дисперсии однородны. Однородность дисперсий означает, что среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные.

Проверка однородности дисперсий

Особое внимание следует уделять проверке однородности дисперсий, т.к. это одна из предпосылок, лежащих в основе регресс-анализа. Для проверки однородности дисперсий можно пользоваться критериями Фишера, Кохрена или Бартлета. Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев, из которых простейшим является критерий Фишера, предназначенный для сравнения 2-х дисперсий. Критерий Фишера (F — критерий) представляет отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной величиной F -критерия.

Если сравниваемое количество дисперсий больше 2-х и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кох­рена. Он пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы:

(10)

а затем из всех дисперсий находится наибольшее, которая делится на сумму всех дисперсий. (11)

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если экспери­ментальное значение критерия G не превышает табличного значения. После этого можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой (*).

Рандомизация опытов

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внеш­ними условиями (колебанием t°, партий сырья, лаборанта и т.д.), рекоменду­ется случайная последовательность проведения опытов. Random — случайный. Опыты необходимо рандомизировать во времени.

Обработка результатов эксперимента Метод наименьших квадратов

Статистики разработали много разнообразных методов обработки ре­зультатов эксперимента. Однако, ни один из них по своей популярности не может конкурировать с МНК, который был разработан около 200 лет назад усилиями Лежандра и Гаусса.

Существо метода рассмотрим на простом примере: один фактор, ли­нейная модель.

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой точки было бы справедливо равенство:

(12)

где i — номер опыта. На практике это условие не выполняется.

,

где — разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями Y в i-ой экспериментальной точке (невязка). Коэффициент регрессии определяется при условии, когда сумма всех невязок min, т.е.

(14), либо

(15)

Из курса математики известно, что минимум некоторой функции, если он существует, достигается при одновременном равенстве нулю частных произ­водных по всем неизвестным, т.е.; (***)

Отсюда берутся уравнения для определения коэффициентов регрессии. Формулу для вычислений коэффициента можно записать так:

(17)

(18)

— номер факторов,

Регрессионный анализ

Как только мы начинаем говорить о пригодности модели или о значимости коэффициентов, приходится вспоминать о статистике: и с этого момента МНК превращается в регрессионный анализ.

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

Первый постулат

Параметр оптимизации 7 есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости — одна из характеристик этого закона распределения.

Второй постулат

Дисперсия Y не зависит от абсолютной величины Y.

Третий постулат

Значения факторов суть не случайные величины. Это утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Проверка адекватности модели

Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, т.е. дисперсии адекватности :

где N — число опытов (МПЭ),

d — число коэффициентов модели.

— разность между реальным значением и предсказанным по модели. Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по ре­зультатам этих опытов независимо друг от друга.

Примечание. Параллельные опыты нельзя считать самостоятельными, т.к. они дублируют друг друга. В связи с этим, они все дают одну степень свободы.

Необходимо запомнить правило: в планировании эксперимента число степеней свободы для равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффи­циентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F критерием Фишера и определяется:

где — дисперсия адекватности;

— дисперсия воспроизводимости.

Удобство использования F — критерия состоит в том, что проверку ги­потезы можно свести к сравнению с табличным значением. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя строки для знаменателя f2.На пересечении соот­ветствующих строки и столбца стоят критические значения F — критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0.05.

Если рассчитанное значение F — критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать аде­кватной. При превышении табличного значения гипотеза отвергается. Для запишем общую формулу :

где N- число опытов;

— число параллельных опытов в i-ой строке матрицы;

— среднее арифметическое из параллельных опытов;

— предсказанное по уравнению регрессии значение в этом опыте.

Проверка значимости коэффициентов

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо.

Её можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. При ис­пользовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны друг другу.

Прежде всего, надо найти дисперсию коэффициента регрессии

(22)

теперь легко построить доверительный интервал ( ):

(23)

где t- табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялись и выбранном уроне значимости (обычно 0.05);

— С.К.О. коэффициенты регрессии: (24)

Формулу для доверительного интервала можно записать в следующей эквивалентной форме: (25)

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

Значимость коэффициента можно проверить по t — критерию, пользуясь формулой

(26)

Вычисленное значение t — критерия сравнивается с табличным при уровне значимости а и соответствующем числе степеней свободы f.

Принятие решений после построения модели

Достройка плана осуществляется несколькими способами:

1. Методом перевала — у исходной реплики изменяют знаки на обратные. В
этом случае основные эффекты оказываются не смешанными с парными.

2. Переход к П.Ф.Э.

3. Переход к реплике меньшей дробности.

Переход к планам 2-го порядка.