Лекция: Вопрос 56.

Преобразование логических выражений.

Логика – это совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.

Логическое выражение — это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.

Основные логические операции, при помощи которых можно записать

Любое логическое выражение.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности переменных:

Истина И T 1

Ложь Л F 0

1. Логическое отрицание (инверсия). «НЕ»

Значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот. Таким образом, отрицанием А некоторого высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Отрицание высказывания А обозначается А. Определение отрицания может быть записано с помощью так называемой таблицы истинности:

А А

И Л

Л И

2. Логическое умножение (конъюнкция). «И»

Если два высказывания соединены союзом «И», то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным.

Таким образом, конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Конъюнкцию высказываний А и В обозначается: А Λ В. Определение конъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности, в которой для каждого из четырех возможных наборов значений исходных высказываний А и В задается соответствующее значение конъюнкции А & В:

А В А&B

и и и

и л л

л и л

л л л

3. Логическое сложение (дизъюнкция). «ИЛИ»

Если два высказывания соединены союзом «ИЛИ», то полученное сложное высказывание обычно считается истинным. Таким образом, дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний. Дизъюнкция высказываний А и В обозначается символом А V В.

4. Логическое следование (импликация). «Если А, то В».

Высказывание «Если А, то В» с логической точки зрения имеет тот же смысл, что и высказывание «неверно, что А истинно и В ложно». Это означает, что функцию импликации можно заменить комбинацией двух функций (отрицания и конъюнкции). Обычно, когда мы хотим установить ложность высказывания «Если А, то В», мы стараемся показать, что возможен случай, когда А истинно, а В ложно (доказательство «от противного»). Обозначим импликацию символом => и запись «А => В».

Таким образом, импликацией А => В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.