Лекция: Диапазоны представления чисел в компьютере

Разряд двоичного числа представляется в ЭВМ некоторым техническим устройством, например, триггером, двум различным состояниям которого приписываются значения 0 и 1. Группа таких устройств, предназначенная для представления в машине многоразрядного числа, называется регистром.

Структура двоичного регистра, представляющего в машине n-разрядное слово:

n-1 n-2… 1 0

Отдельные запоминающие элементы пронумерованы от 0 до n-1. Количество разрядов регистра определяет точность представления чисел. Путем соответствующего увеличения числа разрядов регистра может быть получена любая точность вычислений, однако это сопряжено с увеличением количества аппаратуры (в лучшем случае зависимость линейная, в худшем — квадратичная).

В компьютерах применяются две основные формы представления чисел: полулогарифмическая с плавающей запятой и естественная с фиксированным положением запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором — только целые числа.

Для кодирования знака числа используется старший («знаковый») разряд.

При выполнении арифметических действий над правильными дробями могут получаться двоичные числа, по абсолютной величине больше или равные единице, что называется переполнением разрядной сетки. Для исключения возможности переполнения приходится масштабировать величины, участвующие в вычислениях.

Диапазон представления правильных двоичных дробей: 2-(x-1) < A < 1 — 2-(x-1).

Числа, которые по абсолютной величине меньше единицы младшего разряда разрядной сетки, называются машинным нулем.

Диапазон представления целых двоичных чисел со знаком в n-разрядной сетке: 0 < A < 2-(x-1)-1.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но применяется только для отображения целых чисел.

Представление числа с плавающей запятой.

В общем случае имеет вид: A = m * N p, где N — основание системы счисления, p — целое число, называемое порядком числа A, m — мантисса числа A (¦m¦<1).

Так как в ЭВМ применяется двоичная система счисления, то естественно было бы: A = m * 2 p,

Однако, при таком способе мы получили бы слишком маленький диапазон чисел, либо пришлось бы использовать много разрядов для хранения порядка. Поэтому в современных процессорах используется не число 2, а число 16: A = m * 16 p,

Код числа отображается только в виде порядка и мантиссы, представленных в двоичной форме.

Двоичное число называется нормализованным, если его мантисса удовлетворяет неравенству

1/16< ¦ m ¦ < 1 .

Неравенство показывает, что двоичное число является нормализованным, если в старшем разряде мантиссы стоит единица.

Диапазон представления нормализованных двоичных чисел, взятых по абсолютному значению, удовлетворяет неравенству: 16-1*16-(16k-1) < A < (1 — 16-l)*1616k-1,

где l — число разрядов мантиссы; k — число разрядов порядка; 16-1 — наименьшее значение нормализованной мантиссы; 1 — 16-l — наибольшее значение нормализованной мантиссы.

Представление отрицательных чисел в ЭВМ

Для кодирования знака двоичного числа используется старший («знаковый») разряд (ноль соответствует плюсу, единица — минусу). Такая форма представления числа называется прямым кодом. Формула для образования прямого кода правильной дроби имеет вид:

Примеры:

A = 0,110111 --> [A]пр = 0,110111

A = -0,110111 --> [A]пр = 1 — (-0,110111) = 1,110111

знака мантиссы.