Лекция: Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Определение. Функция называется выпуклой вверх (или выпуклой) на интервале, если она дифференцируема на и ее график расположен ниже касательной, проведенной в любой точке интервала.
Определение. Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале, если она дифференцируема на и ее график расположен выше касательной, проведенной в любой точке интервала .
На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).
Достаточным условием выпуклости функции на является отрицательность ее второй производной ( ), достаточным условием вогнутостиположительность ее второй производной ( ).
Определение. Пусть функция непрерывна в точке. Точка называется точкой перегиба функции, если слева и справа от имеет разные направления выпуклости.
Необходимое условие существования в точке перегиба функции. Если функция в точке имеет перегиб, то вторая производная функции в данной точке равна нулю или не существует.
Точки, в которых выполнено последнее условие, называются критическими точками второго рода.
Достаточное условие существования точки перегиба: если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба функции.
На практике для нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции сначала следует найти вторую производную и критические точки второго рода; затем разбить область определения функции на интервалы критическими точками второго рода и определить знак второй производной в каждом из полученных интервалов.