Лекция: Из истории счета

Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен. И не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три -это «один, два», четыре — «два, два», пять — «два, два, один».

Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел, так как они фактически пользовались двадцатеричной системой счисления: 1 человек — это 20, 2 человека — это два раза по 20 и т.д.

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости.

Когда понадобилосьзаписывать большие числа, то для пятерок и десяток стали придумывать новые знаки. Со временем потребовались знаки для десятка десятков и так далее. Очень наглядной была система таких знаков у египтян.

Запомнить большие числа трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Веревочные счеты с узелками применялись и в России, и во многих странах Европы. Остатками этого способа является практикуемое еще до сих пор завязывание узелков на носовых платках «на память».

Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие — палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления.

По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала просто необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью количества черточек или палочек. Затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. Примером такой системы счисления является пришедшая из Древнего Рима римская система, в которой числа изображались буквами латинского алфавита. Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Казалось бы, удобные цифры должны были изобрести древние греки, которые создали математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами своего алфавита. Также, буквами, обозначались числа и в Древней Руси

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже математические книги писали в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?) Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от ее места в записи числа, именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры называют арабскими.

До этого в Европе пользовались римскими цифрами. О том, насколько трудны были вычисления с этими цифрами, говорят слова одного европейского ученого, который жил около 700 года: “В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырех действий арифметики!” Л. Генденштейн

Существовали системы исчисления и с другими основаниями.

В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты — на 60 секунд. Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда — числа 12 — «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками а дюжинами, например столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Официальное рождение двоичной арифметики связанно с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе — в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» — комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции — номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

Пример непозиционной системы счисления — римская. В качестве цифр в римской системе используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется.

Пример:

CCXXXII=232

IX =9

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Примеры позиционной системы счисления — двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д.