Лекция: Метод идеальной точки.

Рассмотрим один из методов, использующий множество Парето — метод идеальной точки.

Пусть у нас есть некоторое множество е, каждая точка которого описывается двумя функциям U=Ф(х; у) и V=Ψ(х; у) (U и V — средние выигрыши игроков А и В соответственно, а х и у — вероятности выбора стратегий для получения этого выигрыша).

Теперь в данном множестве е попытаемся найти такую точку, в которой обе функции U и V принимают свои максимальные значения. В общем случае эта точка окажется вне множества е. То есть, не существует стратегий, при которых оба игрока получат максимальный для каждого выигрыш.

Точка, в которой функции U и V достигают своих максимальных значений, называется точкой утопии.

Поэтому строится множество Парето и на нем ищется точка, ближайшая к точке утопии — идеальная точка (см. рис.).

Значения функций U и V в идеальной точке и есть оптимальные средние выигрыши для каждого игрока.

Пусть НA(р, q) и Нв (р, q) — средние выигрыши игроков А и В с платежными матрицами

Ситуация (p*q*) в биматричной игре А и В называется оптимальной по Парето, если из того, что

вытекают равенства:

Р =Р*, q=q*.

То есть, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш одного из игроков, не уменьшив при этом выигрыш другого.