Лекция: Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия.

Понятие экстремума вводится для случая, когда число переменных. Будем полагать, что функция дважды дифференцируема в точке, ( ) и в некоторой ее окрестности.

Определение: если для всех точек этой окрестности или, то говорят, что функцияимеет экстремум в (соответственно максимум или минимум).

Определение: точка, в которой все частные производные функции равны нулю, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума:если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю: .

Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе уравнений:

(45.1)

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциала второго порядка обозначается. Если найти частную производнуюпо переменной хj, то получим частную производную второго порядка по переменным хi , хj, которая обозначается .

В этом случае:. (45.2)

Достаточные условия экстремума(двух переменных):

• еслии ( ), то в точке функция имеет максимум;
• если и ( ), то в точке – минимум;
• если, то экстремума нет;
• если, то вопрос об экстремуме остается открытым, а такая точка называется седловой.