Лекция: Многокритериальная задача математического

программирования

В формальном представлении критерии (целевые функции), по которым оценивается решение Х, будет записываться в виде fi(Х), .

Критерий fiназывают также частными. Для удобства рассуждений примем, что для всех i чем больше значение критерия, тем лучше. Тогда задача многокритериального математического программирования запишется в виде:

max{f1(X)=y1},

max{f2(X)=y2},

...... .

max{fm(X)=ym},

ХD,

где D – множество допустимых решений. Иначе говоря, задача состоит в максимизации вектора критериев f(X)=Y по X D.

Существенное отличие этой задачи от традиционной однокритериальной состоит в понятии оптимальности. В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение, обеспечивающее максимальное значение критерия. При многих критериях увеличение одних критериев приводит к уменьшению других (редкие исключения не представляют практического интереса) и поэтому понятие оптимальности требует принципиальных уточнений. Очевидно, что без дополнительной информации о предпочтениях ЛПР бессмысленно говорить об оптимальном решении и тем более формализованно искать его.

Допустимое множество D строится в n-мерном пространстве переменных. Каждое решение X D полностью характеризуется соответствующими значениями всех частных критериев, т.е. вектором Y. Числовое m-мерное пространство Em, координатами которого являются yi=fi(X), называется критериальным пространством. Очевидно, что каждому Х можно поставить в соответствие точку в критериальном пространстве. Если же решение Х допустимо, то соответствующая точка в Em, определяемая вектором Y, является достижимой. Множество таких точек в критериальном пространстве называется множеством достижимости (достижимых векторов). Таким образом, векторная функция f(X) отображает допустимое множество D на множестве достижимости G:

и задача состоит в выборе вектора из этого множества, наилучшего с точки зрения ЛПР.

В общем случае построение множества G для реальных задач весьма проблематично, но для задач с «хорошими» свойствами, например, линейных, множество достижимости может быть построено.