Лекция: МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ. Случай линейных ограничений
Пусть дана задача:
(1)
Пусть требуется решить задачу:
(2)
где – множество простой структуры, которое задаётся с помощью ограничений на одну переменную вида .
В методах 1-го порядка на -ой итерации по известному решается задача
(3)
Как правило, окрестность в (3) формируется с помощью линейных ограничений. Поэтому задача (3) представляет из себя задачу линейного программирования, её решение принимается за .
Если в задаче (3) вначале искать направление итерации и положить, то в результате придём к задаче
(4)
Решение этой задачи принимается за. Задача (4), как правило, линейная задача. После определения направления итерации шаг выбирают одним из описанных 3-х способов.
Пример 1. Положим в (4), тогда получим задачу:
(5)
Решение этой задачи называется направлением условного градиента. Это направление даёт наибольшую проекцию на антиградиент и не выводит за пределы .
Пример 2. Положим, тогда получим задачу:
(6)
а). В этом случае совпадает по направлению с антиградиентом и имеет длину, (то есть в этом случае используется классический градиентный метод).
б), значит, антиградиент проектируется на и имеет длину .
Если в (3) вместо использовать, то для задачи (2) получаем метод Ньютона.