Лекция: Методы нахождения эффективных альтернатив. Теорема 1.

Первый способ. Поиск всего множества эффективных альтернатив Х* сводиься к решению задачи параметрического программирования: при чем функции являются вогнутыми и непрерывными, а область допустимых альтернатив Х представляет собой выпуклое замкнутое множество. В том случаи, когда функции не явл. вогнутыми или множество допустимых альтернатив не выпукло, до данный метод решения задачи не позволяет отыскать все множество альтернатив.

Второй способ. Поиск всего множества Х* сводится к решению такой задачи параметрического программирования: minxxєХmaxiєL Wi(x), при чем функции – монотонные преобразования целевой функции

В данном случаи требования вогнутости и непрерывности для целевых функций, а также выпуклости множества допустимых альтернатив не выдвигаются, но необходимо учитывать, что в случаи существования действительного решения задачи данным способом не все найденные альтернативы могут быть эффективными и необходим дополнительный анализ.

Третий способ. Множество эффективных альтернатив для целевой функции f может быть найдена путем решения такой задачи параметрического программирования относительно параметров z є ZM-1: maxxf1(x)

fi(x) zi, i є I1, i

fi(x) zi, i є I2

x, где ZM-1-(М-1)-измеримый параллелепипед.

Отметим, что за основную оптимизационную функцию необходимо выбирать такую целевую функцию, оптимум которой достигается только в эффективных точках. Как и во втором случаи не все полученные альтернативы этим способом явл. эффективными, поэтому возникает необходимость в дополнительном анализе.

Теорема1. Пусть функція wi(x) вогнута для i є I, а множество допустимых альтернатив х-выпукло. Тогда для любой эффективности альтернативы х* существует вектор с=(с1, с2…сn) такой что сi 0,, что линейный критерий достигает минимума в точке x*, minxF(x)=F(x*).