Лекция: Методы конечных элементов, граничных элементов, их сравнительные преимущества и недостатки.

Когда инженер или ученый строит количественную математическую модель системы практически любого рода, он обычно начинает с установления поведения бесконечно малого ее элемента на основании предполагаемых соотношений между главными переменными, характеризующими систему. Это приводит к описанию системы при помощи дифференциальных уравнений. Как только построена основная модель и выяснены свойства конкретного дифференциального уравнения, дальнейшие усилия направляются на получение решения уравнений в конкретной области.

Метод конечных разностей. Методы конечных разностей привлекательны тем, что их в принципе можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но, к несчастью, учет граничных условий задачи очень часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность полученного численного решения полностью зависит от степени измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка.

В настоящее время наиболее популярным является иной подход, состоящий в возвращении к характерному для физики разбиению тела на элементы конечных размеров. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет.

Метод конечных элементов воплощает этот подход. Диапазон применимости методов конечных элементов, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их весьма серьезными соперниками для любого конкурирующего метода. Самая слабая его сторона состоит в том, что он по идее представляет собой схему дискретизации всего тела, а это неизбежно ведет к очень большому количеству конечных элементов.

Область применения МГЭ

В принципе эти методы могут быть применены к любой задаче, для которой дифференциальное уравнение или линейно, или линейно относительно приращений. Таким образом, охватывается очень широкий класс физических задач; при помощи прямых или непрямых формулировок МГЭ могут быть решены.

МГЭ может быть также использован в сочетании с другими численными методами. Соответствующие комбинированные решения почти неограниченно расширяют область применения методов.