Лекция: Метод уступок
Предварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача максимизации первого критерия при ХD. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Если и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до достижения единственного решения. Иначе говоря, ищется лексикографически-оптимальное решение. ЛПР предъявляется полученное решение X1 со значениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия с тем, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача:
f2(X) max,
f1(X) , (10.22)
X D,
где — уступка по первому критерию. Снова ищется лексикографическое решение, начиная с задачи (10.22.).
ЛПР оценивает предъявленное ему новое решение X2 и прежде всего улучшение второго критерия, которое определяется как разность в двух решениях: f2(Х2)-f2(X1). За такое увеличение f2 он платит цену, равную. Если значение f2(Х2) не удовлетворяет ЛПР, он может увеличить уступку и снова решить задачу (10.22.). Возможность улучшения значения одного критерия за счет другого показана на рис 10.14. Решение по первому критерию соответствует точке B. Введение уступки позволяет получить решение с лучшим значением f2 (точка A). Если решение X2 не обеспечивает приемлемого значения f3, ЛПР должен назначить уступку по второму критерию — . Тогда решается задача
f3(Х)=> max,
f1(X),
f2(X), (10.23)
XD.
Аналогично формируются задачи по остальным критериям, если их значения не устраивают ЛПР. Очевидно, что в процессе поиска наилучшего решения ЛПР может возвращаться на любое число шагов назад, изменять свои уступки и получать новые решения. Тем самым он выявляет количественные взаимосвязи (замещения) критериев, что облегчает выбор окончательного решения.
Пример 10.6. Решим задачу из примера 10.1. Пусть ЛПР представил ранжирование критериев в виде: f1, f3, f2. Максимум f1 достигается в точке А (рис.10.9), где =12, f3=-30, f2=18. ЛПР не удовлетворен значением критерия f3 и готов пойти на снижение критерия f1 на величину =7. В соответствии с рассмотренной процедурой в условия задачи вводится новое ограничение
f1(X)
или в явном виде
-3x1+2x2 5.
В результате допустимое множество сузится до треугольника AMN (рис.10.15). Найдем решение, максимизирующее f3 на этоммножестве. Оно лежит в вершине N, где f1=5, f3=-12,5 и f2=7,5.Таким образом, за счет снижения первого критерия на 7 единиц увеличилось значение третьего критерия (второго по важности) на 17,5. Однако ЛПР не устраивает значение критерия f2. Чтобы повысить его, ЛПР согласен уменьшить f3 до -18, то есть уступает =5,5. Тогда условия задачи дополняются еще одним ограничением
f3(X) -18 или -2x1+ 5х218,
и допустимое множество уменьшается до треугольника NPQ (рис.10.16).
Максимизируя f2, получим решение в точке Q со значениями критериев: f1=5, f3=-18, f2=16. Как видно, второй критерий увеличился на 8,5 за счет снижения третьего на 5,5. Анализируя полученное решение, ЛПР либо принимает его за окончательное, либо, изменив уступки, продолжает поиск.
Нетрудно убедиться в том, что решения формируемых задач, если они единственны, принадлежат паретовскому множеству исходной многокритериальной задачи.