Лекция: Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрицы. Определители. Основные понятия.
Определение. Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица вида:
или ,
где
Числа aij — называются элементами матрицы.
Если m=1, а n >1, то матрица является матрицей-строкой.
Если m >1, а n=1, то матрица является матрицей-столбцом.
Если m=n, то матрица называется квадратной, а число её строк (или столбцов) называется порядком матрицы.
Две матрицы A и B называются равными, если их размер одинаков и aij=bij.
Нулевая матрица — это матрица, у которой все элементы равны нулю.
Единичной матрицей называется квадратная матрица:
.
Пример
Определение. Матрицей транспонированной к матрице A размерности m x n, называется матрица AT размерности n x m, полученная из матрицы A, если её строки записать в столбцы, а столбцы — в строки.
Пример
Матрицы одинакового размера (однотипные) можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.
Суммой (разностью) двух однотипных матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме или разности .
Пример
Произведениемматрицы A на число p называется матрица, элементы которой равны paij
или (Cij)=(paij)
Пример
Произведением двух квадратных матриц A и B называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-ой строки и k-го столбца, является суммой парных произведений элементов i-ой строки первой матрицы на элемент k-ой строки второй матрицы С=АВ.
Пример
То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.
Матрицы для которых АВ=ВА, называются коммутирующими.
При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.
Линейной комбинацией однотипных матриц А1, А2, …, Ак с коэффициентами λ1, λ2, …, λк называется матрица той же размерности А=А1λ1+А2λ2+…+Акλк=0.
Определение. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента a11.
Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице, называется число равное .
Пример
Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице, называется число равное .
Пример
Определение. Минор элемента aij — определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.
Пример
Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называется его минор взятый со знаком .
Пример
Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица. Ранг матрицы.
Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется матрица A-1, которая удовлетворяет условиям AA-1=A-1A=E.
Пример
Матрица A называется вырожденной, если её определитель .
Определение. Минор элемента aij-определитель, который получается из исходного, вычеркиванием i-го столбца и j-ой строки.
Пример
Определение. Минор порядка «r» называетсябазисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка «r+1» и выше равны нулю или не существуют. Все базисные миноры имеют одинаковый порядок.
Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора.