Лекция: Первообразная функции. Неопределенный интеграл.

Определение. Функция называется первообразнойфункции на некотором промежутке, если непрерывна и дифференцируема на этом промежутке и = .

Определение. Если и — две первообразные функции, то — =с, где с=const. Таким образом, если — первообразная функции, то множество { +с, с } является совокупностью всех первообразных функции. Эта совокупность называется неопределенным интеграломфункции и обозначается .

Из определения непосредственно следует линейность неопределенного интеграла: если функции, имеют первообразные на некотором промежутке,то + и c (с=const) также имеют первообразные, причем

, .

Приведем таблицу основных формул для неопределенных интегралов (каждая из формул верна на области определения подынтегральной функции и проверяется непосредственно дифференцированием).

, ,

, >0, 1, ,

, ,

, ,

, 0,, 0,

, 0,, 0.

Приведем далее основные правила дифференцирования.

Пусть на некотором промежутке определена сложная функция, где функция непрерывна и дифференцируема.

Тогда если существует интеграл, то существует

интеграл, и

=. (19.1) Формула (19.1) называется формулой интегрирования с помощью замены переменной.